第2節(jié) 節(jié)點電壓法

一、節(jié)點電壓方程出發(fā)點

進一步減少方程數(shù)，用未知的節(jié)點電壓代替未知的支路電壓來建立方程。

圖3.2-1電路共有4個節(jié)點、 6條支路（把電流源和電導并聯(lián)的電路看成是一條支路）。用支路電流法計算，需列寫6個獨立的方程

 

選取節(jié)點d為參考點，d點的電位為，則節(jié)點a、b、c為獨立的節(jié)點，它們與d點之間的電壓稱為各節(jié)點的節(jié)點電壓（node voltage），實際上就是各點的電位。這樣a、b、c的節(jié)點電壓是。
 

各電導支路的支路電流也就可用節(jié)點電壓來表示

 

結(jié) 論：用3個節(jié)點電壓表示了6個支路電壓。進一步減少了方程數(shù)。

1、節(jié)點電壓方程

根據(jù)KCL，可得圖3.2-1電路的節(jié)點電壓方程

 節(jié)點電壓方程的一般形式
自電導×本節(jié)點電壓－Σ（互電導×相鄰節(jié)點電壓）= 流入本節(jié)點的所有電流源的電流的代數(shù)和
自電導（self conductance）是指與每個節(jié)點相連的所有電導之和，互電導（mutual conductance）是指連接兩個節(jié)點之間的支路電導。

節(jié)點電壓法分析電路的一般步驟
確定參考節(jié)點，并給其他獨立節(jié)點編號。列寫節(jié)點電壓方程，并求解方程，求得各節(jié)點電壓。由求得的節(jié)點電壓，再求其他的電路變量，如支路電流、電壓等。

例3.2-1 圖3.2-1所示電路中，G1=G2=G3=2S，G4=G5=G6=1S，，，求各支路電流。
解：1. 電路共有4個節(jié)點，選取d為參考點，。其他三個獨立節(jié)點的節(jié)點電壓分別為。
 

2. 列寫節(jié)點電壓方程
節(jié)點a：
節(jié)點b：
節(jié)點c：
代入?yún)?shù)，并整理，得到

解方程，得

 

3. 求各支路電流

特 別 注 意：節(jié)點電壓方程的本質(zhì)是KCL，即Σ(流出電流) =Σ(流入電流)，在節(jié)點電壓方程中，方程的左邊是與節(jié)點相連的電導上流出的電流之和，方程的右邊則是與節(jié)點相連的電流源流入該節(jié)點的電流之和。如果某個電流源上還串聯(lián)有一個電導，那么該電導就不應(yīng)再計入自電導和互電導之中，因為該電導上的電流（與它串聯(lián)的電流源的電流）已經(jīng)計入方程右邊了。

例3.2-2 圖3.2-2所示電路，試列出它的節(jié)點電壓方程。

 

解：對于節(jié)點a，流入的電流源的支路上還串聯(lián)了一個電阻R1，在計算a點的自電導時，不應(yīng)再把R1計算進去，所以a點的節(jié)點電壓方程為

b點的節(jié)點電壓方程為

2、彌爾曼定理

當電路只有兩個節(jié)點時，這種電路稱為單節(jié)偶電路（single node-pair circuit）。對于單節(jié)偶電路，有彌爾曼定理。
 

彌爾曼定理：對于只有兩個節(jié)點的單節(jié)偶電路，節(jié)偶電壓等于流入獨立節(jié)點的所有電流源電流的代數(shù)和除以節(jié)偶中所有電導之和。

二、含有電壓源的電路
 

1、有伴電壓源
結(jié) 論：如果電路中的電壓源是有伴電壓源，將有伴電壓源等效成有伴電流源。

方法一 把電壓源當電流源處理
把電壓源當作電流源看待，并設(shè)定電壓源的電流，列寫節(jié)點電壓方程。利用“電壓源的電壓等于其跨接的兩個獨立節(jié)點的節(jié)點電壓之差”這個關(guān)系，再補充一個方程式，聯(lián)立求解。

2、無伴電壓源
 

電壓源的一端與參考點相連

結(jié) 論
電壓源一端與參考點相連，另一端的節(jié)點電壓就是電壓源的電壓，節(jié)點電壓方程減少一個。

方法二 超節(jié)點（super node）方法
 

虛線框當作一個超節(jié)點處理，列寫節(jié)點電壓方程。
注 意：列寫這個超節(jié)點的方程時，其中的“自電導×本節(jié)點電壓”這一項應(yīng)包括兩個部分，即組成該超節(jié)點的每個節(jié)點的電壓與其相應(yīng)的自電導的乘積。

 

例3.2-3 圖3.2-3所示電路，試列出它的節(jié)點電壓方程，并求出電流I。

解：選取a、b、c為獨立節(jié)點，由于6V無伴電壓源的一端與參考點相連，所以c點的節(jié)點電壓為
（1）
對于節(jié)點a： （2）
對于節(jié)點b： （3）
將（1）式代入（2）、（3）式，并整理，得到

解得：
所以，

2）電壓源的兩端都不與參考點相連

例3.2-4 圖3.2-4所示電路，，用節(jié)點電壓法計算各電阻上的電壓。
 

解：電路中含有兩個電壓源，相互之間又無公共端，所以只有一個電壓源的一端可以連到參考點，而另一電壓源的兩端都不能與參考點相連。
選取1V電壓源的正極為參考點，并標出其他獨立節(jié)點a、b、c，如圖3.2-5所示。這樣，
（1）
3.6V電壓源的兩端都不與參考點相連，跨接于節(jié)點a、c之間，設(shè)它的電流為I，并把它當作電流源處理。
對于節(jié)點a： （2）
對于節(jié)點c： （3）
代入?yún)?shù)，并整理（1）、（2）、（3）式，得
（4）
再補充電壓源的方程： （5）
解得： 。
所以，各電阻上的電壓為

 利用超節(jié)點的方法計算例3.2-4。

對超節(jié)點：
對節(jié)點b：
另外，對3.6V的電壓源：
代入?yún)?shù)，并整理，得

解得：

三、含有受控源電路
 

思 路：電路中含有受控源時，將受控源當獨立源處理，列寫節(jié)點電壓方程。當然，當受控源的控制量不是某個節(jié)點的節(jié)點電壓時，還需補充一個反映控制量與節(jié)點電壓之間關(guān)系的方程式。

 

例3.2-5 電路如圖3.2-5（a）所示，求電流I。

解：電路中含有一受控電流源，將它當作獨立電流源看待。另外還有一個有伴電壓源，將該有伴電壓源等效成有伴電流源，等效電路如圖3.2-6（b）所示。
對節(jié)點a：
對節(jié)點b：
又
經(jīng)整理后，得到

解得：
所以，電流