第7節(jié)  一階電路的沖激響應(yīng)和卷積

一、沖激函數(shù)

 沖激函數(shù)：沖激函數(shù)可以看成是寬度趨向于0，幅值趨向于∞，但面積保持為1的矩形脈沖信號的極限。

二、沖激響應(yīng)
 

沖激響應(yīng)（impulse response）

電路在單位沖激電壓或沖激電流激勵下所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)。

由KCL，得

對上式在到時間內(nèi)進行積分，得

由于是沖激函數(shù)，則就不可能是沖激函數(shù)，所以，

因此，

故   

注 意：在沖激電流源的激勵下，電容電壓由躍變到了。

當時，，即沖激電流源相當于開路，電容C開始對電阻R放電，電路中產(chǎn)生由初始電壓激勵的零輸入響應(yīng)，RC電路的沖激響應(yīng)為

同理可得，RL電路的沖激響應(yīng)為

三、卷積

現(xiàn)在分析電路在任意激勵e(t)時的零狀態(tài)響應(yīng)。設(shè)電路的外加激勵e(t)為任意函數(shù)，如圖5.5-4所示。

把時間區(qū)間[0，t]等分成n段，每段的寬度為Δ，這樣，由n個矩形脈沖組成的階梯曲線就可近似地代替e(t)曲線。顯然，當，時，→e(t)。

第k個矩形脈沖為

由n個矩形脈沖組成的階梯曲線就可表示為

可以看成是幅值是，寬度是，面積為1的矩形脈沖，當時，此矩形脈沖就變成了一個出現(xiàn)在時的單位沖激函數(shù)。因此，

任意的激勵函數(shù)e(t)都可看成是一系列幅度是，出現(xiàn)在時的沖激函數(shù)的疊加。

對于線性時不變電路，若在沖激函數(shù)激勵時產(chǎn)生的沖激響應(yīng)是h(t)，則由疊加定理和齊次定理，可得激勵時產(chǎn)生的響應(yīng)為

當時，，即階梯曲線變成了激勵函數(shù)e(t)，而

卷積（convolution integral）：線性時不變電路在任意函數(shù)e(t)激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)是沖激響應(yīng)與激勵函數(shù)的卷積。

例5.7-1  電路如圖5.7-5所示，電壓源為正弦函數(shù)，即，電感的初始儲能為0，試用卷積積分法求零狀態(tài)響應(yīng)和。

解：電感電流的沖激響應(yīng)為

則時的電感電流的零狀態(tài)響應(yīng)為

令，，則，，所以，

因此，電感電流的零狀態(tài)響應(yīng)為

電感電壓的零狀態(tài)響應(yīng)為