第 1 節(jié) 二階電路的零輸入響應(yīng)
一、 RLC 串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)
電路如圖 6.1-1 所示， 
時，開關(guān) S 處于位置 1 ，且電路已處于穩(wěn)態(tài)，
設(shè) 
， 
。 t=0 時開關(guān)撥到位置 2 ，現(xiàn)討論 
時響應(yīng)的變化規(guī)律。
時， 
， 
。
電路換路后，由 KVL 得
這是二階齊次線性微分方程，其特征方程為
特征根為
微分方程的解有如下形式：
其中， A1 、 A2 是待定的常數(shù)，可由電路的初始狀態(tài)確定，
得
， 
所以， RLC 串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)為
結(jié) 論
RLC 串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)的變化規(guī)律取決于兩個特征根 
，特征根 
只與電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而與外加激勵和電路的初始狀態(tài)無關(guān)，特征根是決定動態(tài)電路響應(yīng)變化規(guī)律的重要參數(shù)，也稱為電路的固有頻率（ natural frequency ）。
稱為 RLC 串聯(lián)電路的衰減系數(shù)（ attenuation factor ）， 
稱為 RLC 串聯(lián)電路的諧振角頻率（ resonant angular frequency ）。
1 、過阻尼情況（ over-damped case ）
2 、欠阻尼情況（ under-damped case ）
3 、無阻尼情況（ undamped case ）
無 阻 尼（等幅振蕩）
當 
，電路中只有電容和電感時，稱為無損耗電路。衰減系數(shù) 
， 
， 
，特征根 
為一對共軛虛數(shù)。
正弦波的振幅不會衰減，作等幅振蕩（ unattenuated oscillation ）。
4 、臨界阻尼情況（ critically damped case ）
臨 界 阻 尼（非振蕩放電）
當 
，即 
時， 
，為兩個相等的負實數(shù)。
RLC 串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)
對于 RLC 串聯(lián)電路，求出衰減系數(shù) 
和諧振角頻率 
，判斷電路零輸入響應(yīng)的性質(zhì)：
過阻尼、臨界阻尼………非振蕩放電
欠阻尼………衰減振蕩放電
無阻尼………等幅振蕩
例 6.1-1 圖 6.1-2 所示電路中， 
， 
， 
， 
時開關(guān) S 處于位置 1 ，且電路已處于穩(wěn)態(tài)，電感的儲能為 0 。 
時開關(guān)撥到位置 2 。（ 1 ）求 
時的 
和 
；（ 2 ）若 
、 
不變，欲使電路在過阻尼情況下放電，問電阻 
應(yīng)為多少？
解：（ 1 ）在 
時刻，電路已處于穩(wěn)態(tài)，所以電容相當于開路，則
又電感的儲能為 0 ，則
因為
， 
所以 
，欠阻尼，零輸入響應(yīng)為衰減振蕩放電。又
， 
因此，零輸入響應(yīng)為
（ 
）
（ 2 ）欲使電路在過阻尼情況下放電，則 
，即
所以，
 |
例 6.1-2 圖 6.1-3 所示電路中， 
， 
， 
時電路已處于穩(wěn)態(tài)， t=0 時開關(guān)打開，求 
時的 
。
解： 
時電路已處于穩(wěn)態(tài)，所以把電容當開路處理，把電感當短路處理，并由換路定則得電路的初始狀態(tài)，
時，開關(guān)打開，這時的電路相當于零輸入的 RLC 串聯(lián)電路，其中 
，則
， 
所以 
，過阻尼，零輸入響應(yīng)為非振蕩放電，特征根為
故
利用初始狀態(tài)確定 
和 
，
解得
， 
因此，
（ 
）
二、 GCL 并聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)
圖 6.1-4 所示電路是 GCL 并聯(lián)電路， 
時開關(guān)處于位置 1 ，電路已達到穩(wěn)態(tài)， 
時開關(guān)撥到為位置 2 。設(shè) 
， 
，現(xiàn)討論 
時響應(yīng)的變化規(guī)律。
|
|
特征根為
令 
，稱為 GCL 并聯(lián)電路的衰減系數(shù)， 
，稱為 GCL 并聯(lián)電路的諧振角頻率，則
GCL 電路的零輸入響應(yīng)為
GCL 并聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)
對于 GCL 并聯(lián)電路，求出衰減系數(shù) 
和諧振角頻率 
，判斷電路零輸入響應(yīng)的性質(zhì)：
當 
，即 
時，過阻尼………非振蕩放電
當 
，即 
時，欠阻尼………衰減振蕩放電
當 
，即 
時，臨界阻尼………非振蕩放電
當 
，即 
時，無阻尼………等幅振蕩