1.2.1 數(shù)列極限的概念

設(shè){}是一個(gè)數(shù)列，a是實(shí)數(shù)，如果對(duì)于任意給定的，總存在一個(gè)正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)都有，我們就稱a是數(shù)列{}的極限，或者稱數(shù)列{}收斂，且收斂于a，記為，a即為的極限。

數(shù)列極限的幾何解釋：以a為極限就是對(duì)任意給定的開區(qū)間，第N項(xiàng)以后的一切數(shù)全部落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)。

1.2.2 函數(shù)極限的概念

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)附近（但可能除掉點(diǎn)本身）有定義，設(shè)A為一個(gè)定數(shù)，如果對(duì)任意各定，一定存在，使得當(dāng)時(shí)，總有，我們就稱A是函數(shù)f(x)在點(diǎn)的極限，記作,這時(shí)稱f(x)在點(diǎn)極限存在，這里我們不要求f(x)在點(diǎn)有定義，所以才有。

例如：，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)是沒有定義的，但在x=1點(diǎn)函數(shù)的極限存在，顯然等于2。

1.2.3 單調(diào)有界數(shù)列必有極限

單調(diào)有界數(shù)列必有極限，是判斷極限存在的重要準(zhǔn)則之一，具體敘述如下：

如果數(shù)列滿足條件

，

就稱數(shù)列是單調(diào)增加的；反之則稱為是單調(diào)減少的。

在前面的章節(jié)中曾證明：收斂的數(shù)列必有界。但也曾指出：有界的數(shù)列不一定收斂?，F(xiàn)在這個(gè)準(zhǔn)則表明：如果數(shù)列不僅有界，而且是單調(diào)的，則其極限必定存在。

對(duì)這一準(zhǔn)則的直觀說明是，對(duì)應(yīng)與單調(diào)數(shù)列的點(diǎn)只可能向一個(gè)方向移動(dòng)，所以只有兩種可能情形：或者無限趨近某一定點(diǎn)；或者沿?cái)?shù)軸移向無窮遠(yuǎn)（因?yàn)椴悔呄蛴谌魏味c(diǎn)且遞增，已符合趨向無窮的定義）。但現(xiàn)在數(shù)列又是有界的，這就意味著移向無窮遠(yuǎn)已經(jīng)不可能，所以必有極限。

從這一準(zhǔn)則出發(fā)，我們得到一個(gè)重要的應(yīng)用。

考慮數(shù)列，易證它是單調(diào)增加且有界（小于3），故可知這個(gè)數(shù)列極限存在，通常用字母e來表示它，即　。

可以證明，當(dāng)x取實(shí)數(shù)而趨于或時(shí)，函數(shù)的極限存在且都等于e，這個(gè)e是無理數(shù)，它的值是　e = 2.718281828459045…

1.2.4 柯西（Cauchy）極限存在準(zhǔn)則

我們發(fā)現(xiàn)，有時(shí)候收斂數(shù)列不一定是單調(diào)的，因此，單調(diào)有界數(shù)列必有極限準(zhǔn)則只是數(shù)列收斂的充分條件，而不是必要的。當(dāng)然，其中有界這一條件是必要的。下面敘述的柯西極限存在準(zhǔn)則，它給出了數(shù)列收斂的充分必要條件。

柯西（Cauchy）極限存在準(zhǔn)則　數(shù)列收斂的充分必要條件是：

對(duì)于任意給定的正數(shù)，存在著這樣的正整數(shù)N，使得當(dāng)m>N，n>N時(shí)，就有

　。

必要性的證明　設(shè)，若任意給定正數(shù)，則也是正數(shù)，于是由數(shù)列極限的定義，存在著正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有；

同樣，當(dāng)m>N時(shí)，也有　。

因此，當(dāng)m>N， n>N時(shí)，有

所以條件是必要的。

充分性的證明從略。

這準(zhǔn)則的幾何意義表示，數(shù)列收斂的充分必要條件是：對(duì)于任意給定的正數(shù)，在數(shù)軸上一切具有足夠大號(hào)碼的點(diǎn)，任意兩點(diǎn)間的距離小于。

柯西極限存在準(zhǔn)則有時(shí)也叫做柯西審斂原理。