2.2.1 微分的定義 設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義,及在這區(qū)間內(nèi),如果函數(shù)的增量

可表示為

其中A是不依賴于的常數(shù),而是比高階的無窮小,那末稱函數(shù)在點是可微的,而叫做函數(shù)在點相應(yīng)于自變量增量的微分,記作,即

例 求函數(shù)在和處的微分.

解 函數(shù)在處的微分為

在處的微分為

函數(shù)在任意點的微分，稱為函數(shù)的微分,記作

或,即

例如, 函數(shù)的微分為

函數(shù)的微分為

通常把自變量的增量稱為自變量的微分,記作，即.于是函數(shù)的微分又可記作

從而有

就是說，函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù).因此，導(dǎo)數(shù)也叫做”微商”.

2.2.2 微分的幾何意義

設(shè)是曲線上的點的縱坐標(biāo)的增量,是曲線的切線上的縱坐標(biāo)的相應(yīng)的增量,當(dāng)很小時,比小得多,因此在點的鄰近,我們可以用切線段來近似代替曲線段.