3.2.1   泰勒公式及其誤差圖示

來(lái)源:實(shí)踐,常用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行近似運(yùn)算.

由于 時(shí)所以

因此

應(yīng)用范圍:常用以在直接求困難,而在附近 處與較易求得時(shí)應(yīng)用.條件是 與充分接近,即可達(dá)到一定的精度.

利用當(dāng)為不同函數(shù)時(shí).

有常用近似公式如下:(|x|很小時(shí))

3..2.2 函數(shù)圖形描繪示例

定理:若f(x)在[a,b]上連續(xù),(a,b)可導(dǎo).則f(x)在[a,b]單調(diào)上升(或單調(diào)下降)的充分必要條件為(a,b)內(nèi)(或)

推論:若f(x)在[a,b]連續(xù),(a,b)可導(dǎo),且不變號(hào)

則(或<0) 嚴(yán)格單調(diào)上升(下降).

定理(極值的必要條件):若為f(x)的極值點(diǎn),那么只可能是的零點(diǎn)或f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn).

定理(極值判別法):則 f()為極大值

f()為極小值

若 不存在,但f(x) 在 與 上可導(dǎo)

則若內(nèi),內(nèi)則 為極小點(diǎn),反之為極大點(diǎn)

定義:若曲線(xiàn)在一點(diǎn)的一邊為上凸,另一邊為下凸,則稱(chēng)此點(diǎn)為拐點(diǎn),顯然拐點(diǎn)處

定義:若則稱(chēng)ax+b為f(x)的一條漸進(jìn)線(xiàn).

定義:若則稱(chēng)x=c為f(x)的一條垂直漸進(jìn)線(xiàn).

定理:若f(x)的一條漸進(jìn)線(xiàn)為ax+b 則,

證明:由定義知即

所以即帶回定義得

函數(shù)圖象描述的基本步驟:

1.確定y=f(x)的定義域并討論函數(shù)的基本性質(zhì),如奇偶性,對(duì)稱(chēng)性\周期性等.

2.求出與及與不存在的各點(diǎn).

3.由2的結(jié)果函數(shù)的上升,下降區(qū)間,及圖形的上凸,下凸區(qū)間以及各極值點(diǎn).

4.定出函數(shù)的漸近線(xiàn).

5.描點(diǎn)作用.

Sinxx,tgxx,,,,Ln(1+x)x.

泰勒公式來(lái)源:上述公式在|x|很小時(shí),于是即,與在x=0處函數(shù)值相等且,一階導(dǎo)數(shù)相等.為進(jìn)一步提高精度欲使與在二階導(dǎo)數(shù)處也相等.于是,,.

得

依此類(lèi)推:

對(duì)于誤差,有定理: 在x=0處有n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則上式誤差( 在x 與0 之間)

由定理:此式為 在x=0 處的關(guān)于x 的泰勒展開(kāi)公式.即:

公式推廣:一般地在x=附近關(guān)于點(diǎn)的泰勒公式

注意:雖然泰勒公式是在x="附近"展開(kāi),但是事實(shí)上x(chóng)可以取f(x)定義域內(nèi)任意值,只不過(guò)若|x-|過(guò)大(即x離過(guò)遠(yuǎn))時(shí),相應(yīng)變大.即使用代替f(x)的誤差變大.可是,無(wú)論如何泰勒公式總是成立的,當(dāng)固定后,不同的x將使發(fā)生變化,并使變化,從而影響對(duì)f(x)的近似精度.