4.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念
定義1 如果在區(qū)間
上，可導(dǎo)函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)為
，即對任一
，都有
或
，
那末函數(shù)
就稱為
（或
）在區(qū)間
上的原函數(shù)。
例如，因
，故
是
的原函數(shù)。
那一個函數(shù)具備何種條件，才能保證它的原函數(shù)一定存在呢？簡單的說就是，連續(xù)的函數(shù)一定有原函數(shù)。
下面還要說明兩點。
第一，如果有
，那么，對任意常數(shù)C，顯然也有
，即如果
是
的原函數(shù)，那
也是的原函數(shù)。
第二，當(dāng)
為任意常數(shù)時，表達(dá)式
就可以表示
的任意一個原函數(shù)。也就是說，
的全體原函數(shù)所組成的集合，就是函數(shù)族
。
由以上兩點說明，我們引入如下定義。
定義2 在區(qū)間
上，函數(shù)
的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為（或）在區(qū)間上的不定積分，記作
。
其中記號
稱為積分號，
稱為被積函數(shù)，
稱為被積表達(dá)式，
稱為積分變量。
由此定義及前面的說明可知，如果是在區(qū)間
上的一個原函數(shù)，那么
就是
的不定積分，即
。
因而不定積分
可以表示的任意一個原函數(shù)。
例 1 求
.
解 由于
=
，所以
是
的一個原函數(shù)。因此
.
例 2 求
.
解 當(dāng)
時,由于
=
,所以
是
在
內(nèi)的一個原函數(shù)。因此，在內(nèi)，
當(dāng)
時，由于
=
=
，由上同理，在
內(nèi)，
將結(jié)果合并起來，可寫作
4.1.2 不定積分的性質(zhì)
根據(jù)不定積分的定義，可以推得它的如下兩個性質(zhì)：
性質(zhì)1 函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和，即
.
性質(zhì)2 求不定積分時,被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來,即
(
是常數(shù),
).
例 3 求
.
解 =
=
=
=
=
注意 檢驗積分結(jié)果是否正確,只要對結(jié)果求導(dǎo),看它的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)，相等時結(jié)果是正確的，否則結(jié)果是錯誤的。
4.1.3 兩類換元法及舉例
利用基本積分表與積分的性質(zhì),所能計算的不定積分是非常有限的.因此,有必要進一步來研究不定積分的求法.
把復(fù)合函數(shù)的微分法反過來求不定積分,利用中間變量的代換,得到復(fù)合函數(shù)的積分法,稱為換元積分法,簡稱換元法.
換元法通常分成兩類.
第一類換元法
定理1 設(shè)f(u)具有原函數(shù), u =φ(x)可導(dǎo), 則有換元公式
例1 求∫2cos2xdx.
解 作變換u=2x,便有
∫2cos2xdx =∫cos2x·2dx =∫cos2x·(2x)' dx =∫cos u du = sin u+C,
再以u=2x代入,即得
∫2cos2xdx =sin 2x+C.
例2 求∫tan x dx.
解 ∫tan x dx =∫sin x /cos x dx.
因為 -sin x dx = d cos x,所以如果設(shè)u=cos x,那么du=-sin xdx,即 -du=sin xdx,因此
.
類似地可得∫cot x dx =ln|sin x|+C.
在對變量代換比較熟練以后,就不一定寫出中間變量u.
例3 求∫ch(x/a) dx.
解 
.
例4 求
(a>0).
解 
.
下面的一些求積分的例子,它們的被積函數(shù)中含有三角函數(shù),在計算這種積分的過程中,往往要用到一些三角恒等式.
例5 求∫sin3 x dx.
解 ∫sin3x dx =∫sin2x sinx dx=-∫(1-cos2x)d(cosx)
=-∫d(cosx)+∫cos2xd(cosx)
=-cosx+(1/3)cos3x+C.
例6 求∫cos2 x dx.
解 
.
類似地可得∫sin2 x dx=x/2-(sin2x)/4+C.
利用定理1來求不定積分,一般卻比利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要來的困難,因為其中需要一定的技巧,而且如何適當(dāng)?shù)倪x擇變量代換u=φ(x)沒有一般途徑可循,因此要掌握換元法,除了熟悉一些典型的例子外,還要做較多的練習(xí)才行.
第二類換元法
定理2 設(shè)x=ψ(x)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù), 并且ψ'(x)≠0. 又設(shè)f[ψ(t)]ψ'(t)具有原函數(shù),則有換元公式
,
其中
(x)是x=ψ(t)的反函數(shù).
例7 求
(a>0)
解 求這個積分的困難在于有根式
,但我們可以利用三角公式sin2t+cos2t=1來化去根式.
設(shè)x=asint,-π/2<t<π/2,那么
,于是根式化為了三角式,所求積分化為
.
利用例6的結(jié)果得
.
由于x=asint,-π/2<t<π/2,所以
,
于是所求積分為
.
具體解題時要分析被積函數(shù)的具體情況,選取盡可能簡捷的代換.