5.1.1 定積分概念

定義 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個分點

，

把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間

，

設(shè)有常數(shù)I，如果對于任意給定的正數(shù)e ，總存在一個正數(shù)d ，使得對于區(qū)間[a,b]的任何分法，不論在中怎樣取法，只要，總有

成立，則稱I是f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作 。

接下來的問題是：函數(shù)f(x)在[a,b]上滿足怎樣的條件，f(x)在[a,b]上一定可積？以下給出兩個充分條件。

定理1 設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積。

定理2 設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a,b]上可積。

如果我們對面積賦以正負(fù)號，在x軸上方的圖形面積賦以正號，在x軸下方的圖形面積賦以負(fù)號，則在一般情形下，定積分的幾何意義為：它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線x = a、x = b之間的各部分面積的代數(shù)和。

5.1.2 牛頓－萊步尼茲公式及實例

定理　如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù)，則

　。 　(1)

證　已知函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，又根據(jù)前面的定理知道，積分上限的函數(shù)

也是f(x)的一個原函數(shù)。于是這兩個原函數(shù)之差為某個常數(shù)（第四章第一節(jié)），即 。 (2)

在上式中令x = a，得。又由F (x)的定義式及上節(jié)定積分的補充規(guī)定知F (a) = 0，因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的F (x)，可得

，

在上式中令x = b，就得到所要證明的公式(1) 。n

由積分性質(zhì)知，(1)式對a>b的情形同樣成立。

為方便起見，以后把F(b) – F(a)記成。

公式(1)叫做牛頓(Newton)-萊步尼茲(Leibniz)公式，它給定積分提供了一種有效而簡便的計算方法，也稱為微積分基本公式。

例1　計算定積分。

解　。

例2　計算。

解　。

例3　計算。

解　。

例4　計算正弦曲線y = sinx在[0,p ]上與x軸所圍成的平面圖形的面積。

解　。

例5　求

解　易知這是一個型的未定式，我們利用洛必達(dá)法則來計算。

因此

。