5.2.1 定積分的近似計(jì)算

在應(yīng)用問題中常遇到要求定積分的數(shù)值，但f(x)的原函數(shù)根本不能普通的初等函數(shù)表示出來。例如等，所以提出了積分的近似計(jì)算問題。

定積分近似計(jì)算公式的原理：求定積分就是求面積，近似計(jì)算公式是對面積的近似求法。

此處介紹拋物線法

原理：實(shí)質(zhì)上是用拋物線逼近曲線段，如圖由此可推出。此公式稱為辛卜生公式。

近似計(jì)算方法很多，但實(shí)質(zhì)上多是曲線逼近（見數(shù)值分析）。

5.2.2 無窮限的廣義積分

定義1　設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a , +¥ )上連續(xù)，取b>a，若極限

存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a , +¥ )上的廣義積分，記作

，即　?！　　　　　　　　　　　　?(1)

這時(shí)也稱廣義積分收斂；若上述極限不存在，稱為廣義積分發(fā)散。

類似地，若極限存在，則稱廣義積分收斂。

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-¥ ,+¥ )上連續(xù)，如果廣義積分和都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-¥ , +¥ )上的廣義積分，記作，也稱廣義積分收斂；否則就稱廣義積分發(fā)散。

上述廣義積分統(tǒng)稱為無窮限的廣義積分。

例1　證明廣義積分(a>0)當(dāng)p>1時(shí)收斂，當(dāng)p£ 1時(shí)發(fā)散。

證　當(dāng)p = 1時(shí)，

,

當(dāng)p¹ 1時(shí)，

因此，當(dāng)p > 1時(shí)，這廣義積分收斂，其值為；當(dāng)p£ 1時(shí)，這廣義積分發(fā)散。

5.2.3 無界函數(shù)的廣義積分

現(xiàn)在我們把定積分推廣到被積函數(shù)為無界函數(shù)的情形。

定義2　設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù)，而在點(diǎn)a的右領(lǐng)域內(nèi)無界，取，如果極限 存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a,b]上的廣義積分，仍然記作，這時(shí)也稱廣義積分收斂。

類似地，設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上除點(diǎn)c(a<c<b)外連續(xù)，而在點(diǎn)c的領(lǐng)域內(nèi)無界，如果兩個(gè)廣義積分與都收斂，則定義

；　　　(2)

否則，就稱廣義積分發(fā)散。

例2　證明廣義積分當(dāng)q < 1時(shí)收斂，當(dāng)q ³ 1時(shí)發(fā)散。

證　當(dāng)q = 1時(shí)，

，

當(dāng)q ¹ 1時(shí)，

因此，當(dāng)q < 1時(shí)，這廣義積分收斂，其值為；當(dāng)q ³ 1時(shí)，這廣義積分發(fā)散。