6.2.1   曲面方程的概念及一般方程

如果曲面S與三元方程

F(x, y, z)=0 (1)

有下述關(guān)系：

1. 曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程(1)；

2. 不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程(1)，

那末，方程(1)就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(1)的圖形。

6.2.2 平面方程的幾種形式

一般形式：

Ax+By+Cy+D=0，其中{A，B，C}是平面法向，。

點(diǎn)法式方程：

。

截距式方程：

。

三點(diǎn)式方程：

已知平面過空間三點(diǎn)，，，則平面方程為

1. 幾種特殊的曲面方程

1. 旋轉(zhuǎn)曲面方程

   設(shè)平面曲線 l : 繞z軸旋轉(zhuǎn),則旋轉(zhuǎn)曲線方程為

2. 柱面方程

   母線平行與坐標(biāo)軸的柱面方程為不完全的三元方程,如F(y, z)=0就表示母線平行與x軸,準(zhǔn)線為 的柱面.

3. 二次曲面方程（見第七章知識(shí)點(diǎn)3）

 

6.2.3  空間曲線一般方程

空間曲線可以看作兩個(gè)曲面的交線。設(shè)

F(x, y, z)=0 和 G(x, y, z)=0

是兩個(gè)曲面的方程，它們的交線為C。

因?yàn)榍€C上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿足這兩個(gè)曲面的方程，所以應(yīng)滿足方程組

（1）

反過來，如果點(diǎn)M不在曲線C上，那末它不可能同時(shí)在兩個(gè)曲面上，所以它的坐標(biāo)不滿足方程組（1）。因此，曲線C可以用方程組（1）來表示。方程組（1）叫做空間曲線C的一般方程。

1. 為空間曲線的一般方程，空間曲線的參數(shù)方程為

t為參數(shù).

1. 方程組 表示怎樣的曲線?

   方程組中第一個(gè)方程表示母線平行于z軸的圓柱面,其準(zhǔn)線是xOy面上的圓，圓心在原點(diǎn)O，半徑為1。方程組中第二個(gè)方程表示一個(gè)母線平行于y軸的柱面，由于它的準(zhǔn)線是zOx面上的直線，因此它是一個(gè)平面。方程組就表示上述平面與圓柱面的交線。

   

2. 方程組

表示怎樣的曲線？

方程組中第一個(gè)方程表示球心在坐標(biāo)原點(diǎn)O ，半徑為a的上半球面。第二個(gè)方程表示母線平行于z 軸的圓柱面，它的準(zhǔn)線是xOy面上的圓，這圓的圓心在點(diǎn)（a/2，0），半徑為a/2。方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線。

6.2.4  空間曲線在坐標(biāo)上的投影

設(shè)空間曲線C的一般方程為

由上述方程組消去變量z，x，y后所得的方程分別為：

H( x , y )=0 R( y , z )=0 T( x , z )=0

表示曲線C在xOy面上的投影,

表示曲線C在yOz面上的投影,

表示曲線C在xOz面上的投影。

例 已知兩球面的方程為

（a） 和 (b)

求它們的交線C在xOy面上的投影方程。

解 先求包含交線C而母線平行于z軸的柱面方程。因此要由方程(a) , (b)消去z，為此可先從（a）式減去(b) 式并化簡(jiǎn)，得到

y + z = 1

再以z = 1 –y 代入方程（a）或（b）即得所求的柱面方程為

容易看出，這就是交線C關(guān)于xOy面的投影柱面方程，于是兩球面的交線在xOy面上的投影方程是

注：在重積分和曲線積分的計(jì)算中，往往需要確定一個(gè)立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影，這時(shí)要利用投影柱面和投影曲線。