7.1.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性

 設(shè)函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域（或閉區(qū)域）D內(nèi)有定義，P0(x0,y0)是D的內(nèi)點或邊界點。如果對于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得對于適合不等式

的一切點P(x,y)∈D,都有|f(x,y)-A|<ε成立，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x,y)當(dāng) x→x0,y→y0時的極限，記作

或f(x,y) →A (ρ→0),這里ρ=|PP0|。

例 設(shè) （x2+y2≠0），

求證。

因為，

可見，對任何ε>0，取，則當(dāng)

時，總有

成立，所以。

我們必須注意，所謂二重極限存在，是指P（x,y）以任何方式趨于P0（x0,y0）時，函數(shù)都無限接近于A。

定義 設(shè)函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域（或閉區(qū)域）D內(nèi)有定義，P0(x0,y0)是D的內(nèi)點或邊界點且P0∈D。 如果

則稱函數(shù)f(x,y)在點P0(x0,y0)連續(xù)。

7.1.2  性質(zhì)

性質(zhì)1（最大值和最小值定理） 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最小值和最大值。

性質(zhì)2（介值定理） 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。

一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。所謂定義區(qū)域，是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域。

由多元初等函數(shù)的連續(xù)性，如果要求它在點P0處的極限，而該點又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)，則極限值就是函數(shù)在該點的函數(shù)值，即

。

 7.1.3 偏導(dǎo)數(shù)的定義及計算法

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量Δx時，相應(yīng)的函數(shù)有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0),

如果

存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y) 在點(x0,y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記作

或 fx（x0，y0）。

對于函數(shù)z=f(x,y)，求時，只要把y暫時看作常量而對y求導(dǎo)。

例 求z=x2sin2y的偏導(dǎo)數(shù)。

解

。

7.1.4 高階偏導(dǎo)數(shù)

定理 如果函數(shù)z=f（x,y）的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。