7.2.1 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及實(shí)例

定理 如果函數(shù)u=φ(t)及ψ（t）都在點(diǎn)t可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f[φ(t), ψ(t)]在點(diǎn)t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：

。

例 設(shè)z=eusinv，而u = xy，v = x+y。求。

解

7.2.2 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

 一個(gè)方程的情形

隱函數(shù)存在定理1 設(shè)函數(shù)F(x,y)在點(diǎn)P(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F(x0,y0)=0, Fy(x0,y0) ≠ 0，則方程F(x,y) = 0在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y = f(x)，它滿足條件y0 = f(x0)，并有

。

上面公式就是隱函數(shù)的求導(dǎo)公式。

隱函數(shù)存在定理2 設(shè)函數(shù)F(x,y,z)在點(diǎn)P(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F(x0,y0,z0) = 0, Fz(x0,y0,z0) ≠ 0，則方程F(x,y,z) = 0在點(diǎn)(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z = f(x,y)，它滿足條件z0 = f(x0,y0)，并有

。

例 設(shè)x2+y2+z2-4z = 0，求，

解 設(shè)F（x,y,z）= x2+y2+z2-4z ，則Fx = 2x，F(xiàn)z = 2z-4。應(yīng)同上面公式，得

。

再一次對x求偏導(dǎo)數(shù)，得

。

二方程組的情形

隱函數(shù)存在定理3 設(shè)F（x,y,u,v）、G（x,y,u,v）在點(diǎn)P（x0,y0,u0,v0）的某一鄰域內(nèi)具有對各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又F（x0,y0,u0,v0）= 0，G（x0,y0,u0,v0）= 0，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比（Jacobi）式）：

在點(diǎn)P（x0,y0,u0,v0）不等于零，則方程組F（x,y,u,v）= 0，G（x,y,u,v）= 0在點(diǎn)（x0,y0,u0,v0）的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u = u（x,y），v = v（x,y），它們滿足條件u0 = u（x0,y0），v0 = v（x0,y0），并有

。