7.3.1  空間曲線的切線與法平面

設(shè)空間曲線Г的參數(shù)方稱為

x=φ(t)，y=ψ(t)，z=ω(t)，

這里假定上式的三個函數(shù)都可導(dǎo)。[插圖1]

插圖1

插圖2

在曲線Г上取對應(yīng)于t=t0的一點M（x0，y0，z0）。根據(jù)解析幾何，可得曲線在點M處的切線方程為

。

切線的方向向量稱為曲線的切向量。向量

T={φ'（t0），ψ'（t0），ω'（t0）}

就是曲線Г在點M處的一個切向量。

通過點而與切線垂直的平面稱為曲線Г在點M處的法平面，它是通過點M（x0，y0，z0）而以T為法向量的平面，因此這法平面的方程為

φ'（t0）（x-x0）+ψ'（t0）（y-y0）+ω'（t0）（z-z0）= 0。

7.3.2 曲面的切平面與法線（插圖2）  

設(shè)曲面Σ由方程F（x,y,z）= 0給出，M（x0，y0，z0）是曲面Σ上的一點，并設(shè)函數(shù)F（x,y,z）的偏導(dǎo)數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零。則根據(jù)解析幾何，可得曲面上通過點M的一切曲線在點M的切線都在同一個平面上。這個平面稱為曲面Σ在點M的切平面。這切平面的方程是

Fx（x0，y0，z0）（x-x0）+Fy（x0，y0，z0）（y-y0）+Fz（x0，y0，z0）（z-z0）= 0

通過點M（x0，y0，z0）而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線。法線方程是x=3

垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量。向量

n = {Fx（x0，y0，z0），F(xiàn)y（x0，y0，z0），F(xiàn)z（x0，y0，z0）}

就是曲面Σ在點M處的一個法向量。

7.3.3 多元函數(shù)的極值

二元函數(shù)的極值問題，一般可以利用偏導(dǎo)數(shù)來解決。

定理1（必要條件） 設(shè)函數(shù)z = f(x,y)在點(x0,y0)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(x0,y0)處有極值，則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：

fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0。

定理2（充分條件） 設(shè)函數(shù)z = f(x,y)在點(x0,y0)的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0，令

fxx(x0,y0) = A，fxy(x0,y0) = B，fyy(x0,y0) = C，

則f(x,y)在(x0,y0)處是否取得極值的條件如下：

（1）AC-B2>0時具有極值，且當(dāng)A<0時有極大值，當(dāng)A>0時有極小值；

（2）AC-B2<0時沒有極值；

（2）AC-B2=0時可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。

利用定理1、2，我們把具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z = f(x,y)的極值的求法敘述如下：

第一步 解方程組

fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，

求得一切實數(shù)解，即可求得一切駐點。

第二步 對于每一個駐點(x0,y0)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B和C。

第三步 定出AC-B2的符號，按定理2的結(jié)論判定f(x0,y0)是否是極值、是極大值還是極小值。

7.3.4 條件極值 拉格朗日乘數(shù)法

拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)z = f(x,y)在附加條件φ(x,y) = 0下的可能極值點，可以先構(gòu)成輔助函數(shù)

F（x,y）= f(x,y)+λφ(x,y) ，

其中λ為某一常數(shù)。求其對x與y的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與方程φ(x,y) = 0聯(lián)立起來：

有這方程組解出x，y及λ，則其中x，y就是函數(shù)f(x,y)在附加條件φ(x,y) = 0下的可能極值點的坐標(biāo)。

這方法還可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形。

至于如何確定所求得的點是否極值點，在實際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定?！?/p>