第1節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì)

8.1.1 二重積分的概念

為引出二重積分的概念，我們先來(lái)討論兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題。

設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D，它在點(diǎn)（x，y）處的面密度為ρ（x，y），這里ρ（x，y）> 0且在D上連續(xù)。現(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量M。

由于面密度ρ（x，y）是變量，薄片的質(zhì)量不能直接用密度公式（M =ρS）來(lái)計(jì)算。但ρ（x，y）是連續(xù)的，利用積分的思想，把薄片分成許多小塊后，只要小塊所占的小閉區(qū)域D s i的直徑很小，這些小塊就可以近似地看作均勻薄片。在D s i（這小閉區(qū)域的面積也記作D s i）上任取一點(diǎn)（x i，h i），則ρ（x i，h i）D s i（i = 1，2，…，n）可看作第i個(gè)小塊的質(zhì)量的近似值。（插圖1）

插圖1

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插圖2

通過(guò)求和，再令n個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值（記作λ）趨于零，取和的極限，便自然地得出薄片的質(zhì)量M，即

。

再設(shè)有一立體，它的底是xOy面上的閉區(qū)域D，它的側(cè)面是以D的邊界曲線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)而母線(xiàn)平行于z軸的柱面，它的頂是曲面z = f（x，y），這里f（x，y）≥ 0且在D上連續(xù)。這種立體叫做曲頂柱體?，F(xiàn)在要計(jì)算上述曲頂柱體的體積V。

由于曲頂柱體的高f（x，y）是變量，它的體積不能直接用體積公式來(lái)計(jì)算。但仍可采用上面的思想方法，用一組曲線(xiàn)網(wǎng)把D分成n個(gè)小閉區(qū)域D s 1 ，D s 2，…，D s n，在每個(gè)D s i上任取一點(diǎn)（x i，h i），則f（x i，h i）D s i（i = 1，2，…，n）可看作以f（x i，h i）為高而底為D s i的平頂柱體的體積。（插圖2）通過(guò)求和，取極限，便得出

。

上面兩個(gè)問(wèn)題所要求的，都?xì)w結(jié)為同一形式的和的極限。在其他學(xué)科中，由許多物理量和幾何量也可歸結(jié)為這一形式的和的極限。因此我們要一般地研究這種和的極限，并抽象出下述二重積分的定義。

定義設(shè)f（x，y）是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)。將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域

D s 1 ，D s 2，…，D s n，

其中D s i表示第i個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的面積。在每個(gè)D s i上任取一點(diǎn)（x i，h i），作乘積 f（x i，h i）D s i（i = 1, 2, …, n,），并作和。如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值l 趨于零時(shí)，這和的極限總存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)f（x，y）在閉區(qū)域D上的二重積分，記作，即

。（*）

其中f（x，y）叫做被積函數(shù)，f（x，y）ds 叫做被積表達(dá)式，ds 叫做面積元素，x與y叫做積分變量，D叫做積分區(qū)域，叫做積分和。

在二重積分的定義中對(duì)閉區(qū)域D的劃分是任意的，如果在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)網(wǎng)來(lái)劃分D，那末除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外，其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域。設(shè)矩形閉區(qū)域D s i的邊長(zhǎng)為D xj和D yk，則D s = D xj·D yk。因此在直角坐標(biāo)系中，有時(shí)也把面積元素ds 記作dxdy，而把二重積分記作