按照二重積分的定義來計算二重積分，對少數(shù)特別簡單的被積函數(shù)和積分區(qū)域來說是可行的，但對一般的函數(shù)和積分區(qū)域來說，這不是一種切實(shí)可行的方法。這里介紹一種方法，把二重積分化為兩次單積分（即兩次定積分）來計算。
8.2.1 利用直角坐標(biāo)計算二重積分
下面用幾何的觀點(diǎn)來討論二重積分
的計算問題。
在討論中我們假定f（x，y）≥ 0。并設(shè)積分區(qū)域D可以用不等式
j 1（x）≤ y ≤ j 2（x），a≤x≤b
來表示[插圖1]，其中函數(shù)j 1（x）、j 2（x）在區(qū)間 [a，b] 上連續(xù)。
插圖1
(a) (b)
插圖2
插圖3
(a) (b)
插圖4
插圖5
我們應(yīng)用“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法，來計算這個曲頂柱體的體積。
為計算截面面積，在區(qū)間 [a，b] 上任意取定一點(diǎn)x0，作平行于yOz面的平面x=x0。這平面截曲頂柱體所得截面是一個以區(qū)間 [j 1（x0），j 2（x0）] 為底、曲線z = f（x0，y）為曲邊的曲邊梯形（[插圖2]中陰影部分），所以這截面的面積為
。
一般的，過區(qū)間 [a，b] 上任一點(diǎn)x且平行于yOz面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為
，
于是，得曲頂柱體的體積為
。
這個體積也就是所求二重積分的值，從而有等式
。（1）
上式右端的積分叫做先對y、后對x的二次積分。就是說，先把x看作常數(shù)，把f（x，y）只看作y的函數(shù)，并對y計算從j 1（x）到j(luò) 2（x）的定積分；然后把算得的結(jié)果（是x的函數(shù)）再對x計算在區(qū)間 [a，b] 上的定積分。這個先對y、后對x的二次積分也常記作
。
因此，等式（1）也寫成
，（1’）
在上述討論中，我們假定f（x，y）≥ 0，但實(shí)際上公式（1）的成立并不受此條件限制。
類似地，如果積分區(qū)域D可以用不等式
ψ1（y）≤ x ≤ ψ2（y），c≤y≤d
來表示[插圖3]，其中函數(shù)ψ1（y）、 ψ2（y）在區(qū)間 [c，d] 上連續(xù)，那末就有
。
上式右端的積分叫做先對x、后對y的二次積分，這個積分也常記作
。
因此，等式（2）也寫成
，（2’）
這就是把二重積分化為先對x、后對y的二次積分的公式。
我們稱圖9-2-1所示的積分區(qū)域?yàn)閄-型區(qū)域，圖9-2-3所示的積分區(qū)域?yàn)閅-型區(qū)域。對不同的區(qū)域，可以應(yīng)用不同的公式。如果積分區(qū)域D既不是X-型的，也不是Y-型的，我們可以把D分成幾個部分，使每個部分是X-型區(qū)域或是Y-型區(qū)域。如果積分區(qū)域D既是X-型的，又是Y-型的，則由公式（1’）及（2’）就得
。
上式表明，這兩個不同次序的二次積分相等，因?yàn)樗鼈兌嫉扔谕粋€二重積分
。
二重積分化為二次積分時，確定積分限是一個關(guān)鍵。而積分限是根據(jù)積分區(qū)域D的類型來確定的。
例1 計算
，其中D是由直線y = 1、x = 2及y = x所圍成的閉區(qū)域。
解法1 首先畫出積分區(qū)域D[插圖4]。D是X-型的，D上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的變動范圍是區(qū)間[1，2]。在區(qū)間[1，2]上任意取定一個x值，則D上以這個x值為橫坐標(biāo)的點(diǎn)在一段直線上，這段直線平行于y軸，該線段上點(diǎn)的縱坐標(biāo)從y = 1變到y(tǒng) = x。利用公式（1）得
。
解法2 把積分區(qū)域D看成是Y-型的。同學(xué)們可作為練習(xí)，驗(yàn)證解出的答案是否與解法1的相一致。
對于較復(fù)雜的積分區(qū)域，在化二重積分為二次積分時，為了計算簡便，需要選擇恰當(dāng)?shù)亩畏e分的次序。這時，既要考慮積分區(qū)域D的形狀，又要考慮被積函數(shù)f（x，y）的特性。
例2 求量各底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的體積。
解 設(shè)這兩個圓柱面的方程分別為
x2 + y2 = R2及x2 + z2 = R2
利用立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱性，只要算出它在第一卦限部分[插圖5]的體積V1，然后再乘以8就行了。
所求立體在第一卦限部分可以看成是一個曲頂柱體，它的底為
，
如圖9-2-5（b）所示。它的頂是柱面
。于是，
。
利用公式（1）得
從而所求立體體積為
。
8.2.2 利用極坐標(biāo)計算二重積分
有些二重積分，積分區(qū)域D的邊界曲線用極坐標(biāo)方程來表示比較方便，且被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量r，θ比較簡單。這時，我們就可以考慮利用極坐標(biāo)來計算二重積分。
按二重積分的定義有
，
下面將推導(dǎo)出這個和的極限在極坐標(biāo)系中的形式。
假定從極點(diǎn)O出發(fā)且穿過閉區(qū)域D內(nèi)部的射線與D的邊界曲線相交不多于兩點(diǎn)。我們用以極點(diǎn)為中心的一族同心圓：r=常數(shù)，以及從極點(diǎn)出發(fā)的一族射線：θ=常數(shù)，把D分成n個小閉區(qū)域[插圖6]。
插圖6
插圖7
(a) (b)
插圖8
插圖9
插圖10
除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外，小閉區(qū)域的面積D s i可計算如下：
其中
表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值。在這小閉區(qū)域內(nèi)取圓周
上的一點(diǎn)
，該點(diǎn)的直角坐標(biāo)設(shè)為x i，h i，則由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系有
。于是
，
即 
。
由于在直角坐標(biāo)系中也常記作
，所以上式又可寫成
。（4）
這就是二重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)的變換公式，其中rdrdθ就是極坐標(biāo)系中的面積元素。
公式（4）表明，要把二重積分中的變量從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)，只要把被積函數(shù)中的x、y分別換成rcosθ、rsinθ，并把直角坐標(biāo)系中的面積元素dxdy換成極坐標(biāo)系中的面積元素rdrdθ。
極坐標(biāo)系中的二重積分，同樣可以化為二次積分來計算。在[插圖7]，二重積分化為二次積分的公式為
。（5）
上式也寫成
。（5'）
特別地，如果積分區(qū)域D是[插圖8]所示的曲邊扇形，那末相當(dāng)于圖9-2-7（a）中φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。這時閉區(qū)域D可以用不等式
0≤r≤φ（θ），α≤θ≤β
來表示，而公式（5'）成為
。
如果積分區(qū)域D如圖[插圖9]）所示，極點(diǎn)在D的內(nèi)部，那末相當(dāng)于圖9-2-8中α= 0、β= 2π。這時閉區(qū)域D可以用不等式
0≤r≤φ（θ），0≤θ≤2π
來表示，而公式（5'）成為
。
由二重積分的性質(zhì)4，閉區(qū)域D的面積s 可以表示為
。
在極坐標(biāo)系中，面積元素ds = rdrdθ，上式成為
。
如果閉區(qū)域D如圖9-2-7（a）所示，這由公式（5'）有
。
特別地，如果閉區(qū)域D如圖9-2-8所示，則φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。于是
。
例3 計算
，其中D是由中心在原點(diǎn)、半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域。
解 在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可表示為
0≤r≤a，0≤θ≤2π。
由公式（4）及（5）有
例4 求球體x2+y2+z2≤4a2圓柱面x2+y2=2ax（a>0）所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積[插圖10]。
解 由對稱性，
，
其中D為半圓周
及x軸所圍成的閉區(qū)域。在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可用不等式
0≤r≤2acos（θ），0≤θ≤π/2
來表示。于是
。