8.3 二重積分的應(yīng)用實例

在二重積分的應(yīng)用中，由許多求總量的問題可以用定積分的元素法來處理。如果所要計算的某個量對于閉區(qū)域D具有可加性（就是說，當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和），并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域dσ時，相應(yīng)的部分量可近似地表示為f（x，y）dσ的形式，其中（x，y）在dσ內(nèi)。這個f（x，y）dσ稱為所求量U的元素而記作dU，以它為被積表達式，在閉區(qū)域D上積分：

，

這就是所求量的積分表達式。

8.3.1 曲面的面積

設(shè)曲面S由方程

z = f（x，y）

給出，D為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域，函數(shù)f（x，y）在D上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)fx（x，y）和fy（x，y）。我們要計算曲面S的面積A。

在閉區(qū)域D上任取一直徑很小的閉區(qū)域dσ（這小閉區(qū)域的面積也記作dσ）。在dσ上取一點P（x，y），對應(yīng)地曲面S上有一點M（x，y，f（x，y）），點M在xOy面上的投影即點P。點M處曲面S的切平面設(shè)為T[插圖1]。

插圖1

插圖2

(a)                                                     (b)

插圖3

插圖4

插圖5

以小閉區(qū)域dσ的邊界為準線作母線平行于z軸的柱面，這柱面在曲面S上截下一小片曲面，在切平面T上截下一小片平面。由于dσ的直徑很小，切平面T上的那一小片平面的面積dA可以近似代替相應(yīng)的那一小片面積的面積。設(shè)點M處曲面S上的法線（指向朝上）于z軸所成的角為γ，則

。

因為 ，

所以 。

這就是曲面S的面積元素，以它為被積表達式在閉區(qū)域D上積分，得

。

上式也可寫為。

這就是計算曲面面積的公式。

設(shè)曲面的方程為x=g（x，y）或y=h（z，x），可分別把曲面投影到xOy面上（投影區(qū)域記作Dyz）或zOx面上（投影區(qū)域記作Dzx），類似地可得

，

或。

例1 求半徑為a的球的表面積。

解：取上半球面的方程為，則它在xOy面上的投影區(qū)域D可表示為x2+y2≤a2。

由 ，

得 。

因為這函數(shù)在閉區(qū)域D上無界，我們不能直接應(yīng)用曲面面積公式。所以先取區(qū)域D1：x2+y2≤b2（0<b<a）為積分區(qū)域，算出相應(yīng)于D1上的球面面積A1后，令b→a取A1的極限，就得半球面的面積。

，

利用極坐標，得

                          

于是 。

這就是半個球面的面積，因此整個球面的面積為

A = 4πa2。

8.3.2 平面薄片的重心

設(shè)有一平面薄片，占有xOy面上的閉區(qū)域D，在點（x，y）處的面密度ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上連續(xù)?，F(xiàn)在要找該薄片的重心的坐標。

在閉區(qū)域D上任取一直徑很小的閉區(qū)域dσ（這小閉區(qū)域的面積也記作dσ），（x，y）是這小閉區(qū)域上的一個點。由于dσ的直徑很小，且ρ（x，y）在D上連續(xù)，所以薄片中相應(yīng)于dσ的部分的質(zhì)量近似等于ρ（x，y）dσ，這部分質(zhì)量可近似看作集中在點（x，y）上，于是可寫出靜矩元素dMy及dMx：

dMy = xρ（x，y）dσ，dMx =yρ（x，y）dσ。

以這些元素為被積表達式，在閉區(qū)域D上積分，便得

。

又由第一節(jié)知道，薄片的質(zhì)量為

。

所以，薄片的重心的坐標為

。

如果薄片是均勻的，即面密度為常量，則上式中可把ρ提到積分記號外面并從分子、分母中約去，這樣便得均勻薄片重心的坐標為

（1）

其中為閉區(qū)域D的面積。這時薄片的重心完全由閉區(qū)域D的形狀所決定。我們把均勻平面薄片的重心叫做這平面薄片所占的平面圖形的形心。因此，平面圖形D的形心，就可用公式（1）計算。

例2 求位于兩圓r = 2sinθ和r = 4sinθ之間的均勻薄片的重心[插圖2]

解 因為閉區(qū)域D對稱于y軸，所以重心必位于y軸上，于是。

再按公式

計算。由于閉區(qū)域D位于半徑為1與半徑為2的兩圓之間，所以它的面積等于這兩個圓的面積之差，即A = 3π。再利用極坐標計算積分：

。

因此，

所求重心是C（0，7/3）。

三、平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量

設(shè)有一薄片，占有xOy面上的閉區(qū)域D，在點（x，y）處的面密度ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上連續(xù)?，F(xiàn)在要求該薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量Ix以及對于y軸的轉(zhuǎn)動慣量Iy。

應(yīng)用元素法，在閉區(qū)域D上任取一直徑很小的閉區(qū)域dσ（這小閉區(qū)域的面積也記作dσ），（x，y）是這小閉區(qū)域上的一個點。由于dσ的直徑很小，且ρ（x，y）在D上連續(xù)，所以薄片中相應(yīng)于dσ的部分的質(zhì)量近似等于ρ（x，y）dσ，這部分質(zhì)量可近似看作集中在點（x，y）上，于是可寫出薄片對于x軸以及對于y軸的轉(zhuǎn)動慣量元素：

dIx = y2ρ（x，y）dσ,dIy = x2ρ（x，y）dσ。

以這些元素為被積表達式，在閉區(qū)域D上積分，便得

。

例3 求半徑為a的均勻半圓薄片（面密度為常量ρ）對于其直徑邊的轉(zhuǎn)動慣量。

解：取坐標系如圖[插圖3]所示，則薄片所占閉區(qū)域D可表示為

x2+y2≤a2，y≥0；

而所求轉(zhuǎn)動慣量即半圓薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量Ix。

                              

其中為半圓薄片的質(zhì)量。