8.4.1 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

設(shè)M（x，y，z）為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)M在xOy面上的投影P的極坐標(biāo)為r，θ，則這樣的三個(gè)數(shù)r，θ，z就叫做點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)[插圖1]，

插圖1

插圖2

插圖3

插圖4

插圖5

這里規(guī)定r、θ、z的變化范圍為：

0 ≤ r < +∞,

0 ≤θ≤ 2π,

-∞ < z < +∞。

三組坐標(biāo)面分別為

r = 常數(shù)，即以z軸為軸的圓柱面；

θ=常數(shù)，即過z軸的半平面；

z = 常數(shù)，即與xOy面平行的平面。

顯然，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系為

（1）

現(xiàn)在要把三重積分中的變量變換為柱面坐標(biāo)。為此，用三組坐標(biāo)面r = 常數(shù)，θ=常數(shù)，z = 常數(shù)把Ω分成許多小閉區(qū)域，除了含Ω的邊界的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，這種小閉區(qū)域都是柱體?？紤]由r，θ，z各取得微小增量dr，dθ，dz所成的柱體的體積[插圖2]。柱體的高為dz、底面積在不計(jì)高階無窮小時(shí)為r dr dθ（即極坐標(biāo)系中的面積元素），于是得

dv = r dr dθdz，

這就是柱面坐標(biāo)中的體積元素。再注意到關(guān)系式（1），就有

（2）

其中F（r，θ，z）= f（r cosθ，r sinθ，z）。（2）式就是把三重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為柱面坐標(biāo)的公式。至于變量變換為柱面坐標(biāo)后的三重積分的計(jì)算，則可化為三次積分來進(jìn)行?；癁槿畏e分時(shí)，積分限是根據(jù)r，θ，z在積分區(qū)域Ω中的變化范圍來確定的，下面通過例子來說明。

例1 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分，其中Ω是由曲面z = x2+y2與平面z = 4所圍成的閉區(qū)域。

解 把閉區(qū)域Ω投影到xOy面上，得半徑為2的圓形閉區(qū)域D：0≤r≤2，0≤θ≤2π。在D內(nèi)任取一點(diǎn)（r，θ），過此點(diǎn)作平行于z軸的直線，此直線通過曲面z = x2+y2穿入Ω內(nèi)，然后通過平面z = 4穿出Ω外。因此閉區(qū)域Ω可用不等式

r2≤z≤4，0≤r≤2，0≤θ≤2π

來表示。于是

8.4.2 利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

設(shè)M（x，y，z）為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)M也可用這樣三個(gè)有次序的數(shù)r，φ，θ來確定，其中r為原點(diǎn)O與點(diǎn)M間的距離，φ為有向線段與z軸正向所夾的角，θ為從正z軸來看自x軸按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到有向線段的角，這里P為點(diǎn)M在xOy面上的投影[插圖3]。這樣的三個(gè)數(shù)r，φ，θ叫做點(diǎn)M的球面坐標(biāo)，這里r，φ，θ的變化范圍為

0 ≤ r < +∞,

0 ≤φ≤ π,

0 ≤θ≤ 2π.

r = 常數(shù)，即以原點(diǎn)為心的球面；

φ= 常數(shù)，即以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、z軸為軸的圓錐面；

θ = 常數(shù)，即過z軸的半平面。

點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系為

（3）

為了把三重積分中的變量從直角坐標(biāo)變換為球面坐標(biāo)，用三組坐標(biāo)面r = 常數(shù)，φ=常數(shù)，θ= 常數(shù)把積分區(qū)域Ω分成許多小閉區(qū)域?？紤]由r，φ，θ各取得微小增量dr，dφ，dθ所成的六面體的體積[插圖4]。不計(jì)高階無窮小，可把這個(gè)六面體看作長方體，其經(jīng)線方向的長為rdφ，緯線方向的寬為r sinφdθ，向徑方向的高為dr，于是得

dv = r 2 sinφdrdφdθ，

這就是球面坐標(biāo)系中的體積元素。再注意到關(guān)系式（3），就有

,（4）

其中F（r，φ，θ）= f（r sinφcosθ，r sinφsinθ，r cosφ）。（4）式就是把三重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為球面坐標(biāo)的公式。

要計(jì)算變量變換為球面坐標(biāo)后的三重積分，可把它化為對(duì)r對(duì)φ及對(duì)θ的三次積分。

若積分區(qū)域Ω的邊界曲面是一個(gè)包圍原點(diǎn)在內(nèi)的閉曲面，其球面坐標(biāo)方程為r = r（φ，θ），則

。

當(dāng)積分區(qū)域Ω為球面r = a所圍成時(shí)，則

。

特別地，當(dāng)F（r，φ，θ）= 1時(shí)，由上式即得球的體積

，

這是我們所熟知的。

例2 求半徑為a的球面與半頂角為α的內(nèi)接錐面所圍成的立體[插圖5]的體積。

解 設(shè)球面通過原點(diǎn)O，球心在z軸上，又內(nèi)接錐面的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，其軸與z軸重合，則球面方程為r = 2acosφ，錐面方程為φ=α。因?yàn)榱Ⅲw所占有的空間閉區(qū)域Ω可用不等式

0≤r≤2acosφ, 0≤φ≤α, 0≤θ≤2π

來表示，所以

在三重積分的應(yīng)用中也可采用元素法。

設(shè)物體占有空間閉區(qū)域Ω，在點(diǎn)（x，y，z）處的密度為ρ（x，y，z），假定這函數(shù)在Ω上連續(xù)，求該物體的重心的坐標(biāo)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。與第三節(jié)中關(guān)于平面薄片的這類問題一樣，應(yīng)用元素法可寫出

等，其中為物體的質(zhì)量。

例3 求均勻半球體的重心。

解 取半球體的對(duì)稱軸為z軸，原點(diǎn)取在球心上，又設(shè)球半徑為a，則半球體所占空間閉區(qū)域Ω可用不等式

x2+y2+z2≤a2，z≥0

來表示。

顯然，重心在z軸上，故。

，

其中為半球體的體積。

因此，，重心為。