9.1 曲線積分

9.1.1 第一類曲線積分

公式：=

應(yīng)用前提:

1.曲線L光滑,方程可以寫成為:

2.函數(shù)在L上有定義，且連續(xù)。

公式變形：若L為平面曲線，L方程為，則公式可以寫成為：

常用計(jì)算法：

１．對于曲線L可以寫成為參數(shù)形式的，可直接套用公式．

２．對于平面曲線，可以用公式的變形．

３．計(jì)算中，根據(jù)圖形特點(diǎn)，直接將ds化為dx,dy或dz．

如： ,其中：ds=P(x,y,z)dx ,x

4.當(dāng)Ｌ是簡單的折線段時(shí)，可以將Ｌ分為幾個(gè)連續(xù)線段的和，然后分別求積分，再求和。（注意：由于折線段不連續(xù)，所以這種情況下不能對Ｌ直接套用公式，否則，公式中的將有無意義的點(diǎn)．

公式推導(dǎo)及證明

推導(dǎo)的總體思想：將曲線Ｌ先分割，再求和，最后取極限。推導(dǎo)過程中要用到：中值定理，弧長公式及連續(xù)函數(shù)的一些極限性質(zhì)．

分割：在Ｌ上插入n個(gè)分割點(diǎn)，令，（）；

記d＝max（），為［］上的弧長，為［］上任意一點(diǎn)．

求和：利用積分定義，

由弧長公式：

由中值定理：

其中是由中值定理確定的［］上的一點(diǎn)，；

于是：

利用,,,的連續(xù)性，有：

于是：

右端是黎曼積分和數(shù)，利用黎曼積分定義

取極限：得公式：

9.1.2 第二類曲線積分

問題的來源：物理上，力Ｆ作用于物體上，使之沿曲線ＡＢ由Ａ運(yùn)動到Ｂ，求力Ｆ所做的功Ｗ．

公式的推導(dǎo)

分割：將ＡＢ曲線分為小弧段，，．．．，．在每個(gè)小段上將Ｆ視為常力Ｆ．于是上作功，（其中，是線段與的夾角）

設(shè)，，是在x,y,z三軸正方向的投影．

則：

做和：

9.1.3 兩類曲線積分的聯(lián)系

設(shè)曲線上以(t,x),(t,y),(t,z)表示正向切線t與三正向坐標(biāo)系的夾角.于是

,,,據(jù)二類曲線計(jì)算公式:

;

由一類曲線推導(dǎo)得:

由曲線方程對稱性的公式如下:

對于平面時(shí),公式可化為:

平面上,設(shè)n為法方向,t為切向,則cos(t,x)=cos(n,y),cos(t,y)=-cos(n,x)

于是: