9.2.1 第一類曲面積分

思想:與曲線積分類似,只不過(guò)分割的是平面.曲線積分中一切線段代替曲線段,

這里以微小切平面代替曲面.接下來(lái)是求和,取極限.

公式:其中z=f(x,y)為曲面方程.也可寫成

,其中為法線與z軸夾角.

若s為參數(shù)形式x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)由于

,

(其中

所以公式可化為

若記,,

則公式亦可寫為:.

計(jì)算方法:

1.利用原始公式求積分.(但是注意:有些方程雖不能寫成

z=z(x,y)的顯示形式,但利用隱式求導(dǎo).求出與后.

由于方程的特殊形式,有可能消去子項(xiàng),從而可利用原始

公式.

2.化方程為參數(shù)方程.計(jì)算A,B,C或E,F,G利用推倒公式

求積分.

3.有些方程利用圖像的對(duì)稱性.可以只求其中的幾個(gè)部

分即可.這樣做可大大降地計(jì)算量.

公式推廣:

第一式中z=f(x,y).第二式E,F,G定義同上.

9.2.2 第二類區(qū)面積分

同第二類曲線積分的推導(dǎo)及形式,相類似的有積分形式為:

下面求第二類曲面的計(jì)算公式: 與上述推導(dǎo)類似,分割,做和,與I

相比較,有

對(duì)于正負(fù)號(hào)的取舍,適當(dāng)uv平面的正向與曲面s選定一側(cè)相

關(guān)的正向相互對(duì)應(yīng)時(shí)取正號(hào),否則取負(fù).

因?yàn)榈诙悈^(qū)面積分計(jì)算可利用上述公式將

分別計(jì)算,然后求和.