9.3.1  兩類曲面積分的聯(lián)系

對(duì)于微小面有(由中值定理得其存在性).作和

,由于.

取極限:,

其中為微小元的直徑的最大值.因?yàn)?img src="/uploads/allimg/110818/163P31561-8.gif" />,

于是得

由方程對(duì)稱性得到聯(lián)系方程

(為法線與x,y,z軸的夾角)

9.3.2 格林(Green)公式:

,

其中:l為光滑曲線,D為平面單連通區(qū)域,l為D的邊界. P,Q在D及l(fā)上連續(xù),并且有對(duì)x,y的連續(xù)偏導(dǎo),右側(cè)積分取區(qū)域正向,即延正向前進(jìn),區(qū)域在左邊.

9.3.3 高斯(Gauss)公式:

其中:s為光滑曲面.V為空間單連通區(qū)域,s為V的邊界. P,Q,R在V及s上對(duì)x,y,z有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), N為s外法線方向,最后的積分是延區(qū)面s的外側(cè).

9.3.4  斯托克斯(Stokes)公式:

其中:l為光滑曲線s為光滑曲面. L為s的邊界. P,Q,R在s及l(fā)上對(duì)x,y,z有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),曲線積分方向與曲面的側(cè)依右手定則聯(lián)系.