10.1.1 收斂級數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)一：若級數(shù)收斂，a為任意常數(shù)，則亦收斂，并且 =a。

性質(zhì)二：若兩個級數(shù)和都收斂，則也收斂，并且有=+。

性質(zhì)三：一個收斂級數(shù)對其項任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂，且其和不變。

注意：加括號后的級數(shù)為收斂時，不能斷言原來未加括號的級數(shù)也收斂，即性質(zhì)三的逆命題不成立。

例：顯然級數(shù)發(fā)散，加括號后成為(1+1)+(1+1)...顯然結(jié)果為零。

性質(zhì)四（收斂的必要條件）：若級數(shù)收斂，則。

注意：此命題僅給出了級數(shù)收斂的必要條件而非充分條件。

例：1+1/2+1/2+1/3+1/3+1/3+...+1/n+...+1/n+...

它的一般項，但級數(shù)是發(fā)散的。

10.1.2 正項級數(shù)的審斂法

正項級數(shù)的定義:各項都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項級數(shù).

1.(比較審斂法):設(shè)和都是正項級數(shù),且(n=1,2,3,…).

若級數(shù)收斂,則級數(shù)收斂:反之,若級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)發(fā)散.

推論1:設(shè)和都是正項級數(shù),如果級數(shù)收斂,且存在自然數(shù)N,

使當(dāng)時有(k>0)成立,則級數(shù)收斂;如果級數(shù)

發(fā)散,且當(dāng)時有(k>0)成立,則級數(shù)發(fā)散.

推論2:設(shè)是正項級數(shù),如果有p>1,時(n=1,2…),則級數(shù)

收斂;如果(n=1,2,…),則級數(shù)發(fā)散.

2.(比值審斂法):若正項級數(shù)的后項與前項比值的極限等于:,

則當(dāng)時級數(shù)收斂; (或)時級數(shù)發(fā)散;

時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.

3.(根值審斂法):設(shè)為正項級數(shù),如果它的一般項的n次根的極限

等于:,則當(dāng)時級數(shù)收斂, (或)時級數(shù)發(fā)散, 時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.

交錯級數(shù)的定義:各項是正負(fù)交錯的級數(shù)稱為交錯級數(shù).

10.1.3 交錯級數(shù)的審斂法:

1.(萊布尼茲定理):如果交錯級數(shù)滿足條件:

(1): (n=1,2,3,…)

(2):

則級數(shù)收斂,且其和,其余項的絕對值.