10.3.1 冪級數(shù)及其收斂性

定義：形如（a為實數(shù)）的級數(shù)稱為冪級數(shù)。

收斂半徑：任意冪級數(shù)必存在數(shù)r>=0使得

(i) 這一冪級數(shù)在(-r,r)內(nèi)必區(qū)間一致收斂且絕對收斂

(ii)若冪級數(shù)在x=r收斂，則對任意，這一冪級數(shù)在[-r,r]一致收斂，若冪級數(shù)在x=r收斂，亦有相同的結(jié)果。

(iii)對任意，冪級數(shù)在x發(fā)散。

則稱r為冪級數(shù)的收斂半徑。

顯然，只須求出r，則冪級數(shù)的收斂性就可以知道。

r的求法：若，或存在，則冪級數(shù)的收斂半徑

10.3.2  泰勒級數(shù)的定義

若函數(shù)f（x）在點的某一臨域內(nèi)具有直到（n+1）階導數(shù)，則在該鄰域內(nèi)f（x）的n階泰勒公式為：

其中：，稱為拉格朗日余項。

以上函數(shù)展開式稱為泰勒級數(shù)。

10.3.3 泰勒級數(shù)在冪級數(shù)展開中的作用：

在泰勒公式中，取，得：

這個級數(shù)稱為麥克勞林級數(shù)。函數(shù)f（x）的麥克勞林級數(shù)是x的冪級數(shù)，那么這種展開是唯一的，且必然與f（x）的麥克勞林級數(shù)一致。

注意：如果f（x）的麥克勞林級數(shù)在點的某一臨域內(nèi)收斂，它不一定收斂于f（x）。因此，如果f（x）在處有各階導數(shù)，則f（x）的麥克勞林級數(shù)雖然能做出來，但這個級數(shù)能否在某個區(qū)域內(nèi)收斂，以及是否收斂于f（x）都需要進一步驗證。