10.4.1 函數展開成富里葉級數

定義：設周期為的函數f(x)在[-,]可積和絕對可積

令a=， n=1,2,3...，則稱是f(x)的富里葉級數記作~

如果f(x)是周期為2l的函數在[-l,l]可積和絕對可積，則其富里葉級數為~

其中

n=1,2,3....

特殊的

(i)若f(x)為偶函數，則有

~ ，

其中n=1,2,3...

(ii)若f(x)為奇函數，則有

~ ,

其中 n=1,2,3...

例：在[-,]上展開成富里葉級數

解：因為f(x)為偶函數

所以富里葉系數

,

10.4.2 函數展開成正弦級數或余弦級數

在實際應用中,有時需要把定義在區(qū)間上的函數f(x)展開成正弦級數或余弦級數.根據上一節(jié)的知識,我們可以得到一下解決方法:

在開區(qū)間內補充函數f(x)的定義,得到定義在上的函數F(x),使得它在上成為奇函數(偶函數).按這種方法擴展函數定義域的過程成為奇延拓(偶延拓).然后用上一節(jié)的方法就可以得到函數富里葉級數.限制x在上,此時F(x)=f(x),這樣便得到f(x)的正弦級數(余弦級數)展開式.

例:將函數f(x)=x+1()展開城正弦級數

解:對函數f(x)進行奇延拓.

F(x)=f(x) ()

F(x)=-f(-x) ()