11.3 一階線性微分方程

11.3.1 定義：

方程 （1）

叫做一階線性微分方程，因為它對于未知函數(shù)y及其導數(shù)是一次方程。如果Q(x)＝0 則方程（1）稱為齊次的；如果Q(x)不恒等于零，則方程（1）稱為非齊次的。

11.3.2 非齊次線性方程的解法

在（1）中，如Q(x)≠0，我們先把Q(x)換成零而寫出

（2）

方程（2）叫做對應于非齊次線性方程（1）的齊次線性方程。方程（2）是可分離變量的，分離變量后得，

兩端積分，得，

或 ，

這是對應的齊次線性方程（2）的通解。

現(xiàn)在我們用所謂常數(shù)變易法來求非齊次線性方程（1）的通解。把（2）的通解中的C換成x的未知函數(shù)u(x),即作變換

， （3）

于是 .（4）

將（3）和（4）代入方程（1）得

即,

兩端積分，得

把上式代入（3），便得非齊次線性方程（1）的通解

. （5）

將（5）式改寫成兩項之和

第一項是對應的齊次線性方程（2）的通解，第二項是非齊次線性方程（1）的一個特解，由此可知，一階非齊次線性方程的通解等于對應的齊次方程的通解與非齊次線性方程的一個特解之和。

例：求微分方程 滿足條件y(1)＝1 的特解。

解 先將方程化為線性方程標準形，再求解。

將原方程變形為

利用公式，，

y

現(xiàn)由y(1)=1,得 C＝1，故方程的特解為

二．伯努利方程

方程

(10)

叫做伯努利（Bernoulli）方程.

當n=0或n=1時，這是線性微分方程。當n≠0或n≠1時，可把它化為線性的。只要以除方程（10）的兩端,得。

容易看出，上式左端第一項與只差一個常數(shù)因1-n，因此我們引入新的未知函數(shù)，那末。

用(1-n)乘方程（11）的兩端，再通過上述代換得線性方程

。

求出這方程的通解后，以 代z，便得到伯努利方程的通解。