11.4 可降階的高階微分方程

有三種容易降階的高階方程：

11.4.1 型的微分方程

（1）

方程右端只含x，容易看出，只要把作為新的未知函數(shù)，那未（1）式就是新的未知函數(shù)的一階微分方程。兩邊積分，就得到一個n-1階的微分方程

.

同理可得 .

依此法繼續(xù)進行，接連積分n次，便得方程(1)的含有n個任意常數(shù)的通解。

例 求微分方程的通解

解 對所給方程接連積分三次，得

。

這就是所求的通解。

11.4.2 型的微分方程

（2）

方程右端不顯含未知函數(shù)y，如果我們設，那末

而方程就成為.

這是一個關于變量x, p 的一階微分方程。設其通解為。

但是，因此又得到一個一階微分方程

對它進行積分，便得到方程（2）的通解為

。

例 求微分方程

滿足初始條件，

的特解。

解 所給方程是型的。設y’= p，代入方程并分離變量后，有

.

兩端積分，得 ,

即 (),

由條件，得,

所以.

兩端再積分，得

又由條件，得 ,

于是所求的特解為.

11.4.3 型的微分方程

(3)

方程中不明顯地含自變量x。為了求出它的解，我們令y’= p ，并利用復合函數(shù)的求導法則把化為對y的導數(shù)，即.

這樣，方程（3）就成為。

這是一個關于變量y, p 的一階微分方程。設它的通解為

，

分離變量并積分，便得方程（3）的通解為

。

例 求微分方程 的通解。

解 所給方程不明顯地含自變量x，設

, 則，

代入方程中，得。

在、時，約去p 并分離變量，得。

兩端積分，得，

即 ，或 。

再分離變量并兩端積分，便得方程的通解為，

或 （）。