11.5.1 二階常系數(shù)齊次線形微分方程

在二階齊次線形微分方程

（1）

中，如果 的系數(shù)P(x) ，Q(x)均為常數(shù)，即（1）式寫(xiě)成為

（2）

其中p,q是常數(shù)，則稱(chēng)（2）為二階常系數(shù)齊次線形微分方程。如果p,q不全為常數(shù)，稱(chēng)（1）為二階變系數(shù)齊次線形微分方程。

當(dāng)r為常數(shù)時(shí)，指數(shù)函數(shù)和它的各階導(dǎo)數(shù)都只相差一個(gè)常數(shù)因子。由于指數(shù)函數(shù)有這個(gè)特點(diǎn)，因此我們用來(lái)嘗試，看能否選取適當(dāng)?shù)某?shù)r ，使滿足方程（2）。

將求導(dǎo)，得到

把和代入方程（2），得

由于，所以

（3）

由此可見(jiàn)，只要r 滿足代數(shù)方程（3），函數(shù)就是微分方程（2）的解。我們把代數(shù)方程（3）叫做微分方程（2）的特征方程。

下面我們就通過(guò)研究特征方程（3）來(lái)研究微分方程的解。可得出求二階常系數(shù)齊次線形微分方程

（2）

的通解的步驟如下：

第一步 寫(xiě)出微分方程（2）的特征方程

（3）

第二步 求出特征方程（3）的兩個(gè)根。

第三步 根據(jù)特征方程（3）的兩個(gè)根的不同情形，按照下列表格寫(xiě)出微分方程（2）的通解：

 

特征方程的兩個(gè)根	微分方程的通解
兩個(gè)不等的實(shí)根 兩個(gè)相等的實(shí)根 一對(duì)共軛復(fù)根

例1 求微分方程的通解。

解 所給微分方程的特征方程為

其根是兩個(gè)不相等的實(shí)根，因此所求通解為

例2 求方程滿足初始條件，的特解。

解 所給方程的特征方程為

其根是兩個(gè)相等的實(shí)根，因此所求微分方程的通解為

將條件代入通解，得，從而

將上式對(duì)t 求導(dǎo)，得，

再把條件代入上式，得，于是所求特解為。

例3 求微分方程的通解。

解 所給方程特征方程為

其根為一對(duì)共軛復(fù)根，因此所求通解為

。

 

11.5.2 二階常系數(shù)非齊次線形微分方程

（1）

其中p，q是常數(shù)。

因?yàn)榍蠖A常系數(shù)非齊次線形微分方程的通解歸結(jié)為求對(duì)應(yīng)的齊次方程

（2）

的通解和非齊次方程（1）本身的一個(gè)特解，而二階常系數(shù)齊次線形微分方程解法已在上一知識(shí)點(diǎn)中講過(guò)，所以，在此我們就只討論方程（1）的特解。

當(dāng)方程中f(x)取兩種常見(jiàn)形式時(shí)，我們用待定系數(shù)法求。

11.5.3 型

如果，則二階常系數(shù)非齊次線形微分方程（1）具有形如

（4）

的特解，其中是與同次（m次）的多項(xiàng)式，而k按不是特征方程的根，是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取為0，1或2。

上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線形微分方程，但要注意（4）式中的k是特征方程含根的重復(fù)次數(shù)（即若不是特征方程的根，k取為0，若是特征方程的s重根，k取為s）

例 求微分方程的一個(gè)特解。

解 這是二階常系數(shù)非齊次線形微分方程，且函數(shù)f(x)是型（其中,）

與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為

它的特征方程為

由于這里不是特征方程的根，所以應(yīng)設(shè)特解為

把它代入所給方程，得

比較兩端x 同次冪的系數(shù)，得

由此求得 , 于是求得一個(gè)特解為

.

　

11.5.4 型

如果，則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程（1）的特解可設(shè)為

， （5）

其中、 是m次多項(xiàng)式，m=max{l , n}，而k按（或）不是特征方程的根、或是特征方程的單根依次取0或1。

上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程，但要注意（5）式中的k是特征方程中含根（或）的重復(fù)次數(shù)。

例 求微分方程 的一個(gè)特解。

解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性方程，且f(x) 屬于型（其中）。

與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為

，

它的特征方程為

。

由于這里不是特征方程的根，所以應(yīng)設(shè)特解為

。

把它代入所給方程，得

。

比較兩端同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)，得

由此解得 。

于是求得一個(gè)特解為 。