11.6 微分方程的冪級(jí)數(shù)解法

當(dāng)微分方程的解不能用初等函數(shù)或其積分式表達(dá)時(shí)，我們就要尋求其它解法。常用的有冪級(jí)數(shù)解法和數(shù)值解法。本節(jié)我們簡(jiǎn)單地介紹一下微分方程的冪級(jí)數(shù)解法。

求一階微分方程

（1）

滿足初始條件的特解，其中函數(shù)f (x , y)是、的多項(xiàng)式：

.

這時(shí)我們可以設(shè)所特解可展開為的冪級(jí)數(shù)

（2）

其中是待定的系數(shù)，把（2）代入（1）中，便得一恒等式，比較這恒等式兩端的同次冪的系數(shù)，就可定出常數(shù), 以這些常數(shù)為系數(shù)的級(jí)數(shù)（2）在其收斂區(qū)間內(nèi)就是方程（1）滿足初始條件的特解。

例1 求方程 滿足 的特解。

解 這時(shí) ，故設(shè)

，

把及的冪級(jí)數(shù)展開式代入原方程，得

由此，比較恒等式兩端x 的同次冪的系數(shù)，得

于是所求解的冪級(jí)數(shù)展開式的開始幾項(xiàng)為

。

關(guān)于二階齊次線性方程

（3）

用冪級(jí)數(shù)求解的問題，我們先敘述一個(gè)定理：

定理 如果方程（3）中的系數(shù)P(x)與Q(x)可在 －R＜x＜R 內(nèi)展開為x的冪級(jí)數(shù)那么在－R＜x＜R內(nèi)方程（3）必有形如

的解。

例2 求微分方程

的滿足初始條件

,

的特解。

解 這里在整個(gè)數(shù)軸上滿足定理的條件。因此所求的解可在整個(gè)數(shù)軸上殿開成x的冪級(jí)數(shù)

（4）

由條件 得。對(duì)級(jí)數(shù)（4）逐項(xiàng)求導(dǎo)，有

,

由條件得.于是我們所求方程的級(jí)數(shù)解及的形式已成為

（5）

（6）

對(duì)級(jí)數(shù)（6）逐項(xiàng)求導(dǎo)，得

（7）

把（5）和（7）代入所給方程，并按x的升冪集項(xiàng)，得

因?yàn)閮缂?jí)數(shù)（4）是方程的解，上式必然是恒等式，因此方程左端各項(xiàng)的系數(shù)必全為零，于是有

一般地 （n=3 , 4 ,…）.

從這遞推公式可以推得

一般地

(m=1,2,…)，

于是所求的特解為

。