1. 1. 1 十進(jìn)制數(shù)的表示
自古代以來，人們常采用十進(jìn)制數(shù)來計(jì)數(shù)，它的基數(shù)為10，每位數(shù)可用下列十個(gè)數(shù)碼之一來表示，即0，l，2，3，4，5，6，7，8，9。
十進(jìn)制數(shù)的計(jì)數(shù)規(guī)律是“逢十進(jìn)一”。也就是說，每位數(shù)累計(jì)不能超過10，計(jì)滿10就應(yīng)向高位進(jìn)l。
當(dāng)我們面前出現(xiàn)一個(gè)十進(jìn)制數(shù)，如512.32時(shí)，就立刻會(huì)聯(lián)想到：這個(gè)數(shù)的最左邊第一位為百位(5代表500 )，第二位為十位(1代表10 )，第三位為個(gè)位(2代表2)，小數(shù)點(diǎn)后面第一位為十分位(3代表3／10 )，第二位為百分位（2代表2／100 )。這里百、十、個(gè)、十分之一和百分之一都是10的n次冪，它取決于系數(shù)所在的位置，稱之為“權(quán)”。十進(jìn)制數(shù)512.32從左至右各位的權(quán)分別是102,101，100，10-1，10-2。因此，將512.32按權(quán)展開的形式如下：
512.32＝5×102+1×101+2×100+3×10-1+2×10-2
等式左邊的表示方法稱之為位置記數(shù)法，等式右邊則是其按權(quán)展開式。
一般說來，對(duì)于任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù)S，可用位置記數(shù)法表示如下：
(S )10= (an-1an-2...a1a0a-1a-2...a-m )10 (1.1.1)
也可用按權(quán)展開式表示如下：
(S )10= an-1×10n-1+an-2×10n-2+...+a1×101+a0×100
+a-1×10-1+a-2×10-2+...+a-m×10-m
= 
(1.1.2)
式中，ai為0～9這10個(gè)數(shù)碼中的任意一個(gè)；n為整數(shù)部分的位數(shù)；m為小數(shù)部分的位數(shù)。
通常，對(duì)十進(jìn)制數(shù)的表示，可以在數(shù)字的右下角標(biāo)注10或D (Decimal )。
1. 1. 2 二進(jìn)制數(shù)的表示
數(shù)字系統(tǒng)中最常使用的進(jìn)位制是二進(jìn)制。在二進(jìn)制中，每一位只有0和1兩個(gè)數(shù)碼，所以計(jì)數(shù)的基數(shù)為2。二進(jìn)制的計(jì)數(shù)規(guī)則是每位計(jì)滿2就向高位進(jìn)一，即“逢二進(jìn)一”。例如，(1001 )，就是一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，不同數(shù)位的數(shù)碼表示的值不同，各位的權(quán)值是以2為底的連續(xù)整數(shù)冪，從右向左遞增。
對(duì)于任意一個(gè)二進(jìn)制數(shù)S，用位置計(jì)數(shù)法表示為
(S )2= (an-1an-2...a1a0a-1a-2...a-m )2 (1.1.3)
用按權(quán)展開式表示為
(S)2= an-1×2n-1+an-2×2n-2+...+a1×21+a0×20+a-1×2-1+a-2×2-2+...+a-m×2-m
= 
(1.1.4)
式中，ai為數(shù)碼0或1;n為整數(shù)部分的位數(shù);m為小數(shù)部分的位數(shù)。
通常，對(duì)二進(jìn)制數(shù)的表示，可以在數(shù)字右下角標(biāo)注2或B (Binary )。
1. 1. 3 八進(jìn)制數(shù)、十六制數(shù)的表示
由于二進(jìn)制數(shù)簡(jiǎn)單、容易實(shí)現(xiàn)，所以它是數(shù)字系統(tǒng)中、特別是計(jì)算機(jī)中廣泛采用的一種數(shù)制。但如用二進(jìn)制表示一個(gè)十進(jìn)制數(shù)時(shí)，需用四位二進(jìn)制數(shù)才能表示一位十進(jìn)制數(shù),所用的位數(shù)比用十進(jìn)制數(shù)表示的位數(shù)多，因此讀寫很不方便，所有在實(shí)際工作中常采用八進(jìn)制或十六進(jìn)制。
八進(jìn)制數(shù)的基數(shù)是8，采用的數(shù)碼是0～7這八個(gè)數(shù)。計(jì)數(shù)規(guī)則是“逢八進(jìn)一”，相鄰兩位高位的權(quán)值是低位權(quán)值的8倍。例如，數(shù)(47.6 )8就表示一個(gè)八進(jìn)制數(shù)。由于八進(jìn)制的數(shù)碼和十進(jìn)制前8個(gè)數(shù)碼相同，所以為了便于區(qū)分，通常在數(shù)字的右下角標(biāo)注8或O (Octal )。
十六進(jìn)制數(shù)的基數(shù)為16，分別用0～9，A (10 )，B (11 )，C (12 )，D (13 )，E (14 )，F(xiàn)(15 )表示。十六進(jìn)制的計(jì)數(shù)規(guī)則是“逢十六進(jìn)一”，相鄰高位的權(quán)值是低位權(quán)值的16倍。例如，數(shù)(54AF.8B )16就是一個(gè)十六進(jìn)制數(shù)。通常，在數(shù)字的右下角標(biāo)注16或H(Hexadecimal )。
與二進(jìn)制數(shù)一樣，任意—個(gè)八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)均可用位置計(jì)數(shù)法的形式和按權(quán)展開式的形式表示。
一般說來，對(duì)于任意的數(shù)S，都能表示成以r為基數(shù)的r進(jìn)制數(shù)，數(shù)S的表示方法也有兩種形式，即位置記數(shù)法和按權(quán)展開式。
位置記數(shù)法：
(S )r = (an-1an-2...a1a0a-1a-2...a-m )r (1.1.5)
用按權(quán)展開式表示為
(S)r = an-1×rn-1+an-2×rn-2+...+a1×r1+a0×r0+a-1×r-1+a-2×r-2+...+a-m×r-m
= 
(1.1.6)
式中，ai為數(shù)碼0～r-1數(shù)碼中的一個(gè)；r為該進(jìn)位制的基數(shù)；n為整數(shù)部分的位數(shù)；m為小數(shù)部分的位數(shù)。
r進(jìn)制的計(jì)數(shù)規(guī)則是“逢r進(jìn)一”。
不同數(shù)制的各種數(shù)碼見表1. 1.1，該表列出了當(dāng)r為10，2，8，16時(shí)，各種進(jìn)位計(jì)數(shù)制中開始的16個(gè)自然數(shù)。
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表1.1.1 不同進(jìn)位計(jì)數(shù)制的各種數(shù)碼 |
|||
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十進(jìn)制數(shù) （r= 10） |
二進(jìn)制數(shù) （r= 2） |
八進(jìn)制數(shù) （r= 8） |
十六進(jìn)制數(shù) （r= 16） |
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0 |
0000 |
0 |
0 |
|
1 |
0001 |
1 |
1 |
|
2 |
0010 |
2 |
2 |
|
3 |
0011 |
3 |
3 |
|
4 |
0100 |
4 |
4 |
|
5 |
0101 |
5 |
5 |
|
6 |
0110 |
6 |
6 |
|
7 |
0111 |
7 |
7 |
|
8 |
1000 |
10 |
8 |
|
9 |
1001 |
11 |
9 |
|
10 |
1010 |
12 |
A |
|
11 |
1011 |
13 |
B |
|
12 |
1100 |
14 |
C |
|
13 |
1101 |
15 |
D |
|
14 |
1110 |
16 |
E |
|
15 |
1111 |
17 |
F |
1. 1. 4 二進(jìn)制的算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算
在數(shù)字電路中，1位二進(jìn)制數(shù)碼的1和0不僅可以表示數(shù)量的大小，而且也可以表示兩種不同的邏輯狀態(tài)。例如，我們既可以用1和0來表示電路的通斷、電燈的亮與暗這些直觀的物理現(xiàn)象，也可以表示一件事情的是與非、好和壞、真與假、有和無等邏輯問題。我們稱這些只有兩種對(duì)立邏輯狀態(tài)的邏輯關(guān)系為2值邏輯。
當(dāng)用兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)碼表示兩個(gè)數(shù)量大小時(shí)，它們之間可以進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算，這種運(yùn)算就稱為算術(shù)運(yùn)算，算術(shù)運(yùn)算的結(jié)果是得到一個(gè)數(shù)量(算術(shù))值。當(dāng)兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)碼表示兩個(gè)不同的邏輯狀態(tài)時(shí)，他們之間可以按照規(guī)定的某種因果關(guān)系進(jìn)行所謂邏輯運(yùn)算。邏輯運(yùn)算的結(jié)果是得到一個(gè)邏輯值，邏輯運(yùn)算和算術(shù)運(yùn)算有根本之上的不同。下面我們先介紹二進(jìn)制算術(shù)運(yùn)算。
在數(shù)字電路中為什么選擇使用二進(jìn)制數(shù)制呢？這是因?yàn)橛枚M(jìn)制來表示數(shù)字和進(jìn)行運(yùn)算具有如下特點(diǎn)：
(1 )二進(jìn)制數(shù)只有0和1兩個(gè)數(shù)碼，任何具有兩個(gè)不同穩(wěn)定狀態(tài)的元件都可用來表示一位二進(jìn)制數(shù)，例如晶體管的導(dǎo)通和截止、脈沖信號(hào)的有和無、燈光的亮和滅等。
(2 )二進(jìn)制運(yùn)算規(guī)則與其它數(shù)制的運(yùn)算規(guī)則相比最簡(jiǎn)單，其運(yùn)算規(guī)則是：
加法規(guī)則
0+0= 0 0+1= 1
1+0= 1 1+1= 0 (同時(shí)向相鄰高位進(jìn)1 )
減法規(guī)則
0-0= 0 0-1= 1 (同時(shí)向相鄰高位借1 )
1-0= 1 1-1= 0
乘法規(guī)則
0×0= 0 0×1= 0
1×0= 0 1×1= 1
除法規(guī)則
0÷1= 0 1÷1= 1
下面舉幾個(gè)二進(jìn)制數(shù)運(yùn)算的例子。
例1.1.1對(duì)1001+1011進(jìn)行加法運(yùn)算。
解：
由此可見，二進(jìn)制數(shù)的加法運(yùn)算和十進(jìn)制數(shù)的加法運(yùn)算相似，但采用“逢二進(jìn)—”的法則，即每位數(shù)累計(jì)到2時(shí)，本位就記為0，且向相鄰高位進(jìn)1。
例1.1.2 對(duì)10100-1110進(jìn)行減法運(yùn)算。
解：
在二進(jìn)制減法中采用了“借一當(dāng)二”的法則，減法運(yùn)算從低位起按位進(jìn)行，在遇到0減1時(shí)，就要向相鄰高位借1，也就是從相鄰高位減去1。
例1.1.3對(duì)1011×1001進(jìn)行乘法運(yùn)算。
解：
從二進(jìn)制數(shù)的乘法運(yùn)算過程中可以看出，二進(jìn)制數(shù)的乘法運(yùn)算和十進(jìn)制數(shù)的乘法運(yùn)算相似，只不過對(duì)乘積部分進(jìn)行累加時(shí)要按“逢二進(jìn)一”的原則來運(yùn)算。
例1.1.4 對(duì)10100101÷100l進(jìn)行除法運(yùn)算。
解：
從二進(jìn)制數(shù)的除法運(yùn)算過程中可以看出，二進(jìn)制數(shù)的除法運(yùn)算同十進(jìn)制數(shù)的除法運(yùn)算相類似，但采用二進(jìn)制數(shù)的除法運(yùn)算規(guī)則。
二進(jìn)制數(shù)的缺點(diǎn)是書寫時(shí)位數(shù)較長，不便記憶和閱讀。因此，通常選用八進(jìn)制和十六進(jìn)制數(shù)。這兩種數(shù)制相對(duì)位數(shù)較短，便于書寫和閱讀，容易記憶，且非常容易將它們轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。