在計(jì)算機(jī)和其它數(shù)字系統(tǒng)中，最常使用得是二進(jìn)制數(shù)，而人們?nèi)粘Ａ?xí)慣于使用十進(jìn)制數(shù)，所以，在數(shù)據(jù)處理過程中首先必須把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成計(jì)算機(jī)能加工和處理的二進(jìn)制數(shù)，經(jīng)計(jì)算機(jī)加工處理后，再將二進(jìn)制數(shù)的計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)換成人們習(xí)慣的十進(jìn)制數(shù)。這里就存在一個(gè)不同數(shù)制的相互轉(zhuǎn)換問題。

1. 2. 1  二進(jìn)制數(shù)和十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換

    二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成等值的十進(jìn)制數(shù)稱之為二-十轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)換時(shí)只需將二進(jìn)制數(shù)寫成按權(quán)展開式，并將展開式中各乘積項(xiàng)的積算出來，然后各項(xiàng)相加，即可得到與該二進(jìn)制數(shù)等值的十進(jìn)制數(shù)。例如

(1001.11 )₂= 1×2³+0×2²+0×2¹+1×2⁰+1×2^-1+1×2^-2

=  (9.75 )₁₀

將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成等值的二進(jìn)制數(shù)稱之為十-二轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)換時(shí)時(shí)，需要將待轉(zhuǎn)換的十進(jìn)制數(shù)分成整數(shù)部分和小數(shù)部分，并分別加以轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，然后再將兩部分加起來。

第一步先討論整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換。假如有十進(jìn)制數(shù)(S)₁₀，其等值的二進(jìn)制數(shù)為(a_na_n-1…a₀.a_-1a_-2…a_-m )₂，若將二進(jìn)制數(shù)按權(quán)展開，則有

 (S )₁₀= a_n2ⁿ+a_n-12^n-1+…+a₁2¹+a₀2⁰

= 2 (a_n2^n-1+a_n-12^n-2+…a₁ )+a₀                  (1.2.1)

從上式表明，若將(S )₁₀除以2，則得到的商為a_n2^n-1+a_n-12^n-2+…a₁，余數(shù)則為a₀。若再將得到的商依次除以2，所得的余數(shù)分別是a₁、a₂、…、a_n-1、a_n。

所以，當(dāng)需要將一個(gè)十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)時(shí)，十進(jìn)制數(shù)的整數(shù)部分采用“除2取余”法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即把十進(jìn)制整數(shù)除以2，取出余數(shù)1或0作為相應(yīng)二進(jìn)制數(shù)的最低位，把得到的商再除以2，再取余數(shù)1或0作為二進(jìn)制數(shù)的次低位，依次類推，繼續(xù)上述過程，直至商為0，最后所得余數(shù)為最高位。

例如，要將十進(jìn)制整數(shù)157轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制整數(shù)，就要把它寫成如下形式：

第二步討論小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換。

若(S )₁₀是一個(gè)十進(jìn)制小數(shù)，對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制小數(shù)為(0.a_-1a_-2a…a_-m )₂，則有

(S )₁₀= a_-12^-1+a_-22^-2+…+a_-m2^-m                     (1.2.2)

將上式兩邊同乘以2得到

2 (S )₁₀= a_-1+ (a_-22^-1+a_-32^-2+…+a_-m2^-m+1 )

從結(jié)果可以看出，將小數(shù)(S )₁₀乘以2所得乘積的整數(shù)部份即a_-1。

同理，將乘積的小數(shù)部分再乘以2又可得

2 (a_-22^-1+a_-32^-2+…+a_-m2^-m+1 )= a_-2+ (a_-32^-1+…+a_-m2^-m+2 )

即可得乘積的整數(shù)部份a_-2。

以此類推，將每次乘2后所得的乘積的小數(shù)部分再乘以2后，便可求出二進(jìn)制小數(shù)的每一位。

例1.2.1將(0.8125 )₁₀化為二進(jìn)制小數(shù)

解：

所以(0.8125 )₁₀=  (0.1101 )₂

1.2. 2  八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換

    八進(jìn)制數(shù)的基數(shù)是8 (8=2³ )，十六進(jìn)制數(shù)的基數(shù)為16 (16=2⁴ )。由于二進(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)之間具有2的整指數(shù)倍的關(guān)系，因而可十分方便地直接進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

    將二進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制或十六進(jìn)制整數(shù)的方法是：從右邊第一位起，分別向左按3位(轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制)或4位(轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制) 分組，最后不滿3位或4位的，則需加0。將每組以對(duì)應(yīng)的八進(jìn)制數(shù)或十六進(jìn)制數(shù)代替，即為等值的八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)。例如

  則     (10011101 )₂ =  (010,011,101 )₂=  (235 )₈

=  (1001,1101 )₂  =  (9C )₁₆

    將八進(jìn)制數(shù)或十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)時(shí)，可按上述方法的為相反過程進(jìn)行,即將每一位八進(jìn)制數(shù)或十六進(jìn)制數(shù)分別轉(zhuǎn)換成3（或4）位二進(jìn)制數(shù)，在按高位到低位組合起來。