2.1.1 邏輯變量與邏輯函數(shù)
與普通代數(shù)一樣邏輯代數(shù)中的變量也用英文字母A，B，C,…等來表示，稱為邏輯變量，邏輯變量的含義與普通代數(shù)情況完全不同，它們之間有著本質(zhì)的區(qū)別，邏輯變量的取值只有兩種可能：0或1，而且沒有中間值，0和1并不表示數(shù)量的大小，而是表示兩種對立的狀態(tài)。按照邏輯學(xué)中的因果關(guān)系，某件事情的發(fā)生（結(jié)果）必然要具備其發(fā)生的條件（原因），這里可以約定1表示條件具備或事件發(fā)生，0表示條件不具備或事件不發(fā)生；相反也可以約定1表示條件不具備或事件不發(fā)生，0表示條件具備或事件發(fā)生。
如圖2.1.1所示的電燈開關(guān)電路中，電燈是否點(diǎn)亮（結(jié)果）取決于開關(guān)是否接通（條件）。若定義Y＝1表示燈點(diǎn)亮，Y＝0表示燈熄滅；那么可以用A＝1表示開關(guān)閉合，A＝0表示開關(guān)斷開。由于Y與A都是取值為1或?yàn)?strong>0的邏輯變量，并且開關(guān)的邏輯狀態(tài)決定了電燈的邏輯狀態(tài)，因此Y是A的函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式可寫為Y＝f（A），邏輯變量A的取值決定了邏輯函數(shù)Y的結(jié)果。一般來說，一個(gè)邏輯函數(shù)中應(yīng)包含多個(gè)邏輯變量，邏輯函數(shù)可表示為Y＝f（A，B，C，…），表達(dá)式由邏輯變量A，B，C，…和邏輯運(yùn)算符等組成。邏輯運(yùn)算符是邏輯運(yùn)算關(guān)系中特定的符號，邏輯代數(shù)中最基本的邏輯運(yùn)算有與、或、非三種，每種運(yùn)算代表一種函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)關(guān)系可用邏輯符號寫成邏輯表達(dá)式形式來描述，亦可以用文字來描述，還可以用表格或圖形的方式來描述。
2.1.2 基本邏輯運(yùn)算
人們常用因果關(guān)系來描述客觀事物條件與結(jié)果之間的關(guān)系。在邏輯代數(shù)中,最基本的邏輯關(guān)系有三種,即與邏輯關(guān)系、或邏輯關(guān)系、非邏輯關(guān)系。下面通過幾個(gè)具體的例子來描述這三種基本的邏輯關(guān)系。
一、與邏輯
如圖2.1.2所示，A、B兩串聯(lián)開關(guān)控制電燈Y，開關(guān)A、B的狀態(tài)組合有四種，這四種不同的狀態(tài)組合與電燈點(diǎn)亮與熄滅之間的關(guān)系如表2.1.1所示。
從表中可以看出，只有當(dāng)開關(guān)A、B同時(shí)閉合時(shí)，電燈Y才會點(diǎn)亮；否則處于熄滅的狀態(tài)?，F(xiàn)在用1來表示條件具備或事件發(fā)生，即用1來表示開關(guān)閉合及燈亮；用0來表示條件不具備或事件不發(fā)生，即用0來表示開關(guān)斷開及燈滅。因此表2.1.1所示的邏輯關(guān)系可以表示為表2.1.2所示的形式。這種把輸入邏輯變量的所有取值組合及其相對應(yīng)的輸出結(jié)果列成的表格稱之為真值表。從表2.1.1中可以得到如下的因果關(guān)系：只有當(dāng)決定某一事件的條件（如開關(guān)閉合）全部具備時(shí)，這一事件（如燈亮）才會發(fā)生。這種因果關(guān)系稱之為與邏輯關(guān)系。根據(jù)表2.1.2所示輸出邏輯變量（邏輯函數(shù)）及輸入邏輯變量的關(guān)系，這種與邏輯關(guān)系可以寫成如下的邏輯函數(shù)表達(dá)式
Y=A·B （2.1.1）
式中：A與B為輸入邏輯變量，即自變量；Y為輸出邏輯變量，即因變量。式中的與運(yùn)算符號“·”在不至于混淆的情況下，一般可以省略。與運(yùn)算的意義為：只有當(dāng)A和B都為1時(shí)，函數(shù)值Y才為1。讀者很容易推廣到三個(gè)（或三個(gè)以上）輸入變量的情況。
由與邏輯關(guān)系的真值表可知與邏輯運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律為
0·0＝0
0·1＝1·0＝0
1·1＝1
簡單的記為：“有0出0，全1出1”。
由此推出一般形式
A·0＝0 （2.1.2）
A·1＝A （2.1.3）
A·A＝A （2.1.4）
二、或邏輯
將圖2.1.2所示電路稍作改變，把兩個(gè)串聯(lián)開關(guān)改為兩并聯(lián)開關(guān)控制電燈，電路如圖2.1.3所示。兩并聯(lián)開關(guān)也有四種不同的狀態(tài)組合，這些狀態(tài)組合與燈亮、燈滅之間的關(guān)系如表2.1.3所示。同樣用1表示條件具備或事件發(fā)生，0表示條件不具備或事件不發(fā)生，及1表示開關(guān)閉合、燈亮，0表示開關(guān)斷開、燈滅，可以得到如表2.1.4所示的真值表。從其邏輯狀態(tài)表中可以得到這樣的因果關(guān)系：只有在決定某一事件（如燈亮）的各種條件中，有一個(gè)或幾個(gè)條件（如開關(guān)閉合）具備時(shí)，這一事件就會發(fā)生。這種因果關(guān)系稱之為或邏輯關(guān)系。
上述這種或邏輯關(guān)系可以寫成如下的邏輯函數(shù)表達(dá)式
Y=A＋B （2.1.5）
式中“＋”為或邏輯運(yùn)算符號?；蜻\(yùn)算的意義為：A或B只要有一個(gè)為1，則函數(shù)值Y為1。
由或邏輯關(guān)系的真值表可知或邏輯運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律為
0＋0=0
0＋1=1＋0=1
1＋1=1
簡單的記為：“有1出1，全0出0”。
由此推出一般形式：
A＋0=A （2.1.6）
A＋1=1 （2.1.7）
A＋A=A （2.1.8）
三、非邏輯
如圖2.1.4所示的開關(guān)電路中，開關(guān)A閉合時(shí)，燈亮；開關(guān)A斷開時(shí)，燈滅。若用1表示開關(guān)閉合及燈亮，0表示開關(guān)斷開及燈滅，可得邏輯真值表如表2.1.5所示。從其邏輯狀態(tài)表中得到的因果關(guān)系如下：決定某一事件發(fā)生的條件（如開關(guān)閉合）具備時(shí)，事件（如燈亮）不發(fā)生；而當(dāng)事件發(fā)生的條件不具備時(shí)，事件發(fā)生。這種因果關(guān)系稱之為非邏輯關(guān)系。
上述這種非邏輯關(guān)系可寫成如下邏輯函數(shù)表達(dá)式
（2.1.9）
（2.1.9）式右邊讀作“A非”或“非A”。其中“¯”為非邏輯的邏輯運(yùn)算符號。非運(yùn)算的意義為：邏輯函數(shù)值為輸入邏輯變量的反。
由非邏輯關(guān)系的真值表可知非邏輯的運(yùn)算規(guī)律為：
簡單的記為：“有0出1，有1出0”。
由此推出其一般形式
（2.1.10）
（2.1.11）
＝0 （2.1.12）
2.1.3 復(fù)合邏輯運(yùn)算
實(shí)際數(shù)字系統(tǒng)中遇到的邏輯關(guān)系問題往往要比簡單的與、或、非邏輯關(guān)系復(fù)雜得多，但是它們可以通過與、或、非的不同組合來實(shí)現(xiàn)，從而進(jìn)行一些復(fù)合邏輯運(yùn)算。常見的復(fù)合邏輯有：與非邏輯、或非邏輯、與或非邏輯、同或邏輯、異或邏輯等。
一、與非邏輯
與非邏輯實(shí)際上是與邏輯與和邏輯非的復(fù)合，它首先將輸入變量進(jìn)行與運(yùn)算，然后再進(jìn)行非運(yùn)算。對于一個(gè)二輸入邏輯變量的與非邏輯來說，其邏輯函數(shù)表達(dá)式為
（2.1.13）
與非邏輯的真值表如表2.1.6所示。
|
表 2.1.6 “與非”邏輯真值表 |
||
|
A |
B |
Y |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
二、或非邏輯
或非邏輯實(shí)際上是或邏輯和非邏輯的組合，它首先將輸入變量進(jìn)行或運(yùn)算，然后再進(jìn)行非運(yùn)算。對于一個(gè)二輸入邏輯變量的或非邏輯來說，其邏輯函數(shù)表達(dá)式為
（2.1.14）
|
表 2.1.7 “或非”邏輯真值表 |
||
|
A |
B |
Y |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
或非邏輯的真值表如表2.1.7所示。
|
表 2.1.8 “與或非”邏輯真值表 |
||||
|
A |
B |
C |
D |
Y |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
三、與或非邏輯
與或非邏輯是由與邏輯、或邏輯、非邏輯組合而成的，它首先將輸入邏輯變量進(jìn)行與運(yùn)算，然后再進(jìn)行或運(yùn)算，最終進(jìn)行非運(yùn)算。對于一個(gè)2－2輸入邏輯變量的與或非邏輯來說，其邏輯函數(shù)表達(dá)式為：
（2.1.15）
與或非邏輯的真值表如表2.1.8所示。
四、同或邏輯與異或邏輯
同或邏輯與異或邏輯都是只有兩個(gè)輸入邏輯變量的函數(shù)。
當(dāng)兩個(gè)輸入邏輯變量取值相同時(shí)，輸出邏輯函數(shù)值為1；兩個(gè)輸入邏輯變量取值不同時(shí)，輸出邏輯函數(shù)值為0。這種邏輯關(guān)系稱之為“同或”邏輯。其邏輯函數(shù)表達(dá)式為
＝⊙
＝
＋
（2.1.16）
式中：“⊙”為同或邏輯的運(yùn)算符號。
|
表 2.1.9 “同或”邏輯真值表 |
||
|
A |
B |
Y=A⊙B |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
同或邏輯的真值表如表2.1.9所示。
由同或邏輯的真值表可知同或運(yùn)算的規(guī)律為
0⊙0=1
0⊙1=1⊙0=0
1⊙1=1
簡單的記為：“相同為1，相異為0”。
由此推出一般形式
⊙0= （2.1.17）
⊙1= （2.1.18）
⊙=0 （2.1.19）
⊙=1 （2.1.20）
與同或邏輯相反，當(dāng)兩個(gè)輸入邏輯變量的取值相異時(shí)，輸出邏輯函數(shù)值為1；兩個(gè)輸入邏輯變量取值相同時(shí)，輸出邏輯函數(shù)值為0。這種邏輯關(guān)系稱之為異或邏輯關(guān)系。其邏輯函數(shù)表達(dá)式為
（2.1.21）
式中“
”為異或邏輯的運(yùn)算符號。
異或邏輯的真值表如表2.1.10所示。
|
表2.1.10“異或”邏輯真值表 |
||
|
A |
B |
Y=AÅB |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
由異或邏輯的真值表可知異或運(yùn)算的規(guī)律為
簡單的記為：“相同為0，相異為1”。
由此推出一般形式
（2.1.22）
（2.1.23）
（2.1.24）
（2.1.25）
2.1.4邏輯函數(shù)與真值表
在實(shí)際邏輯問題中。前面介紹的的基本運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算是很少單獨(dú)出現(xiàn)，往往是構(gòu)成各種復(fù)雜邏輯運(yùn)算的基本單元，邏輯代數(shù)中的函數(shù)與普通代數(shù)中函數(shù)定義相類似，一個(gè)多變量輸入的邏輯函數(shù)Y＝f（A，B，C，…），函數(shù)表達(dá)式由邏輯變量A，B，C，…和運(yùn)算符號“+”，“ˉ”，“·”來構(gòu)成。但概念上與普通代數(shù)的函數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別，主要表現(xiàn)為：
（1）邏輯函數(shù)自身和邏輯變量的取值只有0和1兩種可能。
（2）邏輯函數(shù)與變量之間的關(guān)系完全由與、或、非三種基本運(yùn)算確定。
從數(shù)字電路的角度邏輯函數(shù)可按如下定義：
設(shè)邏輯電路的輸入邏輯變量為A，B，C，…，邏輯電路的輸出Y，當(dāng)A，B，C，…的值確定后，則Y的值就被唯一地確定下來，那么Y被稱為A，B，C，…的邏輯函數(shù)。
例如:
,就是一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式，其中
表示邏輯變量A與B的反變量，表述一個(gè)邏輯電路輸出端Y與其輸入邏輯變量A，B，C之間的關(guān)系。
一、邏輯函數(shù)的真值表
邏輯函數(shù)表達(dá)式是表示輸出量與輸入量之間邏輯關(guān)系的一種形式，在數(shù)字邏輯電路中用真值表來描述邏輯函數(shù)更能直觀輸出量和輸入量之間的邏輯關(guān)系。用真值表描述邏輯函數(shù)的方法是一種表格表示法，由于一個(gè)邏輯變量只有0和1兩種可能的取值，故n個(gè)邏輯變量一共有
種可能的組合。任何邏輯函數(shù)總和若干個(gè)邏輯變量相關(guān)的，有限的變量個(gè)數(shù)使得變量取值組合的總數(shù)必然是有限的，從而能夠用窮舉的方法來描述邏輯函數(shù)的功能。為了清晰，常用的方法是對一個(gè)函數(shù)求出所有輸入變量取值下的函數(shù)值，用表格的形式記錄下來，這種表格就稱為真值表。換而言之，真值表是一種由邏輯變量的所有可能取值組合及其對應(yīng)的邏輯函數(shù)值勤所構(gòu)成的表格。
真值表由兩部份組成，左邊一欄列出變量的所有取值組合，為了不發(fā)生遺漏，通常各變量取值組合按二進(jìn)制數(shù)碼順序列出；右邊一欄為邏輯函數(shù)的值。
例如：一個(gè)三輸入變量的邏輯函數(shù)為
，其真值勤表如表2.1.11所示。
|
表2.1.11邏輯函數(shù) |
|||
|
A |
B |
C |
Y |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
的真值表真值表是一種十分有用的邏輯性工具，在邏輯性問題分析與設(shè)計(jì)中，會經(jīng)常用這一工具。
二、真值表的邏輯表達(dá)式
真值表的最大特點(diǎn)是可直觀輸出量和輸入量之間的邏輯關(guān)系，在數(shù)字邏輯電路中經(jīng)常應(yīng)用真值表來分析電路的邏輯功能。用表格的形式描述邏輯函數(shù)有很明顯的局限性，因而經(jīng)常要把真值表描述的邏輯功能寫成邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式。由真值表寫出邏輯函數(shù)表達(dá)式實(shí)際上是由邏輯函數(shù)列寫真值表的一個(gè)逆過程。
表2.1.11所示真值表與邏輯函數(shù)表達(dá)式的關(guān)系分析如下：
邏輯函數(shù)表達(dá)式可改寫為
當(dāng)A、B、C的取值為011時(shí)，
，則
同理，在A、B、C的取值為111、110、101時(shí)，分別使
，
和
，使邏輯函數(shù)值為
。
因此，由真值表寫出邏輯函數(shù)表達(dá)式時(shí)，首先把每個(gè)輸出邏輯變量Y=1的相對應(yīng)的一組輸入變量（A、B、C、…）的組合狀態(tài)以與項(xiàng)的形式表示，變量取值為1用原變量形式表示，變量取值為0用反變量形式表示；然后將所有使Y=1的與項(xiàng)進(jìn)行邏輯或，便得到了輸出Y的邏輯函數(shù)表達(dá)式，由于邏輯函數(shù)表達(dá)式Y中包含了所有使Y=1的輸入組合，因此該表達(dá)式是完備的。
例2.1.1 列出下述邏輯問題的真值表，并寫出描述該邏輯問題的邏輯函數(shù)表達(dá)式。
有A、B、C三個(gè)輸入信號，當(dāng)三個(gè)輸入信號出現(xiàn)奇數(shù)個(gè)1時(shí)，輸出Y為1；其余情況下，輸出Y為0。
解 ：根據(jù)題意，當(dāng)三個(gè)輸入信號出現(xiàn)奇數(shù)個(gè)1時(shí)，輸出為1，其余情況輸出為0，得到8種不同取值組合的輸出，真值表如表2.1.12所示。
從真值表中可見，輸出Y＝1的輸入變量取值組合為ABC＝001、010、100、111這四種，當(dāng)
時(shí)，必然使得
；當(dāng)
時(shí)，必然使得
；當(dāng)A=1,B=0,C=0時(shí)，必然使得
；當(dāng)A=B=C=1時(shí)，必然使得
，因此輸出Y的邏輯函數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谶@四個(gè)與項(xiàng)邏輯之和，即
|
表 2.1.12 奇數(shù)判斷真值表 |
|||
|
A |
B |
C |
Y |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
綜上所述，一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式與表示該邏輯函數(shù)的真值表之間是可以相互轉(zhuǎn)換的。
2.1.5 邏輯函數(shù)的相等
邏輯函數(shù)和普通代數(shù)中的函數(shù)一樣存在相等的問題。假設(shè)有兩個(gè)邏輯函數(shù)
（A1，A2，A3，…，An）
G（A1，A2，A3，…，An）
均為變量A1，A2，A3，…，An的邏輯函數(shù)，如果對應(yīng)于變量A1，A2，A3，…，An的任意一組取值，Y與G的值都相等，則稱Y和G是等值的，或者說Y和G是相等的，記作Y=G。
判斷兩個(gè)邏輯函數(shù)是否相等，通常有兩種方法。一種方法是列出輸入變量所有可能的取值組合，并按邏輯運(yùn)算法則計(jì)算出各種輸入取值下兩個(gè)邏輯函數(shù)的相應(yīng)值，然后進(jìn)行比較。另一種方法是用邏輯代數(shù)的公理、定律和規(guī)則進(jìn)行證明。