邏輯代數(shù)和普通代數(shù)一樣，作為一個(gè)完整的代數(shù)體系，它具有一系列的用于運(yùn)算的定律、定理和規(guī)則。有不少定律在形式上和普通代數(shù)完全一致，但其含義卻有本質(zhì)的區(qū)別，有些定律是邏輯代數(shù)所特有的，在普通代數(shù)中沒(méi)有對(duì)應(yīng)的關(guān)系。本節(jié)將介紹邏輯代數(shù)的基本定律、規(guī)則和常用的公式。
2.2.1邏輯代數(shù)的基本定律
1.重疊律
(2.2.1)
(2.2.2)
⊙
(2.2.3)
(2.2.4)
2.交換律
(2.2.5)
(2.2.6)
⊙
⊙ (2.2.7)
(2.2.8)
3.結(jié)合律
(2.2.9)
(2.2.10)
⊙
⊙
⊙⊙ (2.2.11)
4.分配律
(2.2.12)
(2.2.13)
(2.2.1) (2.2.14)
⊙
⊙
(2.2.15)
5.吸收律
(2.2.16)
(2.2.17)
(2.2.18)
(2.2.19)
6.反演律(摩根定律)
(2.2.20)
(2.2.21)
7.調(diào)換律
若⊙
，則必有⊙
，⊙
(2.2.22)
若
，則必有
，
(2.2.23)
上述公式反映了邏輯代數(shù)的基本規(guī)律,其正確性可以通過(guò)真值表加以驗(yàn)證。如反演律的證明：
利用邏輯函數(shù)相等的定義證明反演律：
，
。
證明：列真值表如表2.2.1 所示
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表 2.2.1 二變量真值表 |
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0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
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0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
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1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
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1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
根據(jù)邏輯函數(shù)相等的概念可得：
2.2.2邏輯代數(shù)的三個(gè)規(guī)則
一、代入規(guī)則
在任意邏輯代數(shù)的等式中，如果將等式兩邊所有出現(xiàn)變量A的位置都代以一個(gè)邏輯函數(shù)Y，則原等式仍然成立。因?yàn)槿魏我粋€(gè)邏輯函數(shù)Y，它與一個(gè)邏輯變量一樣，只有0和1兩種取值，所以代入規(guī)則是正確的。
有了代入規(guī)則便可以擴(kuò)展一些基本的定理和等式的應(yīng)用范圍，只要將已知等式或定理中的某一變量用一個(gè)任意的邏輯函數(shù)代入，便能得到一個(gè)新的等式。
如反演律：
，若令
，則有
。
但是在運(yùn)用代入規(guī)則時(shí)應(yīng)注意，等式中所有出現(xiàn)被替代變量的地方都應(yīng)該代以同一邏輯函數(shù)，否則等式不成立。
二、反演規(guī)則
已知邏輯函數(shù)Y的表達(dá)式，求反函數(shù)
表達(dá)式的規(guī)則，稱為反演規(guī)則。
對(duì)于任意一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式Y，若將其表達(dá)式中所有出現(xiàn)“·”（注意，邏輯函數(shù)表達(dá)式中不致混淆的地方，“·”常被省略）的地方換以“＋“；所有出現(xiàn)“＋”的地方換以“·”；所有的常量0換成常量1，常量1換成常量0；所有的原變量換成反變量，所有的反變量換成原變量，這樣所得到的新的函數(shù)表達(dá)式就是
，稱之為原函數(shù)Y的反函數(shù)，或補(bǔ)函數(shù)。
必須指出，在運(yùn)用反演規(guī)則時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)
（1）變換時(shí)應(yīng)保持原函數(shù)運(yùn)算順序不變。
（2）變換運(yùn)算符號(hào)的優(yōu)先順序，遵循 “先進(jìn)行括號(hào)里的運(yùn)算變換，再進(jìn)行邏輯乘的運(yùn)算變換，最后進(jìn)行邏輯加的運(yùn)算變換”。
（3）不屬于單個(gè)變量上的非號(hào)應(yīng)保留不變。
例2.2.1已知
求
。
解：由反演規(guī)則可得
例2.2.2已知 
，求
解：由反演規(guī)則可得
三、對(duì)偶規(guī)則
若兩個(gè)邏輯表達(dá)式
和
相等，則它們的對(duì)偶式
和
也必定相等，這就是對(duì)偶規(guī)則。
對(duì)偶式是這樣定義的：對(duì)于任意一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式Y，若將其表達(dá)式中所有出現(xiàn)“·”（注意，邏輯函數(shù)表達(dá)式中不致混淆的地方，“·”常被省略）的地方換以“＋”；所有出現(xiàn)“＋”的地方換以“·”；所有的常量0換成常量1，常量1換成常量0，而其中的變量與原表達(dá)式中運(yùn)算的優(yōu)先順序保持不變，這樣變換后得到一個(gè)新的表達(dá)式稱為原表達(dá)式
的對(duì)偶式
與運(yùn)用反演規(guī)則求反函數(shù)相比，在求對(duì)偶式時(shí)應(yīng)注意三點(diǎn)：
（1）的對(duì)偶式與的反演式是不同的。
（2）運(yùn)用對(duì)偶規(guī)則時(shí)，不需將反變量與原變量置換。
（3）遵循同樣運(yùn)算變換的優(yōu)先順序。
例 2.2.3 已知
，求
解：
有些邏輯函數(shù)表達(dá)式的對(duì)偶式就是原函數(shù)表達(dá)式本身，即
。這時(shí)，稱函數(shù)Y為自對(duì)偶函數(shù)。例如，函數(shù)
是一個(gè)自對(duì)偶函數(shù)。因?yàn)椋?/p>
根據(jù)對(duì)偶規(guī)則，當(dāng)已證明某兩個(gè)表達(dá)式相等到時(shí)，便可知它們的對(duì)偶式也相等。
例如，已知
，由對(duì)偶規(guī)則可知等式兩端的對(duì)偶式也相等，必有：
很明顯，應(yīng)用對(duì)偶規(guī)則可使定理、公式的證明減小一半。
2.2.3 邏輯代數(shù)的常用公式
邏輯代數(shù)的常用基本公式如表2.2.2 所示
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表 2.2.2 常用公式表 |
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序號(hào) |
公式 |
序號(hào) |
公式 |
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1 |
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1’ |
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2 |
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2’ |
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3 |
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3’ |
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4 |
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4’ |
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5 |
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5’ |
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6 |
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6’ |
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7 |
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7’ |
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8 |
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9 |
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10 |
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從基本公式中可以看出，公式1－7與公式1’－7’是互為對(duì)偶式的，因此只要證明其中的一組公式就可以了，另外一組可以通過(guò)對(duì)偶規(guī)則得到，記憶方便。其正確性可以通過(guò)列真值表的方法得以證明。