∑-Δ模數(shù)轉換器的基本原理和關鍵概念講解分析

本文將嘗試用非數(shù)學方法解釋∑-Δ轉換器，并涵蓋噪聲整形和過采樣等基本概念，并結合一些示例來進行說明。這些概念與數(shù)字抽取濾波器隨后結合在一起，以揭開∑-Δ轉換器的神秘面紗。本文還包括一階和二階∑-Δ模數(shù)轉換器的基本知識以及∑-Δ調制器的階數(shù)如何影響模數(shù)轉換器的性能。

引言

目前，有許多應用經常要求模數(shù)轉換器具有高分辨率，而不是高精度，從而出現(xiàn)了對∑-Δ模數(shù)轉換器的需求。為了了解∑-Δ轉換器，人們必須深入了解頻域中所涉及的復雜數(shù)學計算來鉆研控制環(huán)路理論。但本文將讓您了解一些非常重要的概念，如噪聲整形、過采樣和∑-Δ調制器背后使其區(qū)別于其它轉換器架構的所有魔幻性能，盡可能避免數(shù)學復雜性，使您能夠可視化感受事物的移動。

要了解∑-Δ模數(shù)轉換器，首先需要了解噪聲整形和過采樣等基本概念。噪聲整形可通過兩種模擬來闡釋。

什么是“噪聲整形”？通用示例如下

比如說，某個商品的價格是9.9盧比，您購買該商品已有10天。下圖是店主讓您支付此商品的價格圖。

不管是0.1或0.5，每天都會產生一些誤差，但在10天結束后，商品的價格最終確實為9.9盧比。這種平均誤差被稱為噪聲整形。

但是只有店主每天都跟蹤誤差，才會發(fā)生這種情況。因此為了跟蹤誤差，系統(tǒng)應有一個存儲器。

表1：商品的每日價格

∑-Δ模數(shù)轉換器的基本原理和關鍵概念講解分析

Day：天數(shù)；Price：價格

通過數(shù)模轉換器解釋的噪聲整形

如果我們的普通數(shù)模轉換器包括噪聲整形，將會怎樣？我們允許數(shù)模轉換器整形噪聲。我們讓它不只給出一個數(shù)字，而是兩個或三個數(shù)字，使平均值接近理想狀態(tài)。

圖 1：時域中普通數(shù)模轉換器與噪聲整形數(shù)模轉換器的比較（Ideal：理想狀態(tài)；Regular DAC：普通數(shù)模轉換器；Noise shaped：噪聲整形）

圖 2：頻域中噪聲整形與普通數(shù)模轉換器的比較（Noise Shaped：噪聲整形；DAC：數(shù)模轉換器）

如圖1所示，如果我們真地遵循綠色模式，我們就會將數(shù)值上下移動一點?？雌饋硭坪鹾茉愀猓驗槲覀円呀洖榇藬?shù)模轉換器增加了噪聲。它甚至沒有使數(shù)值保持穩(wěn)定。我們沒有引入任何新級別，它們早已存在于普通的數(shù)模轉換器中。

現(xiàn)在，看看圖2中兩個系統(tǒng)的傅立葉分析。令人驚喜的是，我們原以為會有損性能的綠色的東西，實際上卻使數(shù)模轉換器運行地更好。與普通數(shù)模轉換器相比，噪聲整形數(shù)模轉換器中噪聲低于1KHz的區(qū)域更小，因而能夠更好地代表1KHz信號。

過采樣概述

無論何時通過頻率Fs對信號采樣時，都假設誤差過程的隨機變量與量化噪聲相關（與信號不相關）；誤差是一個白噪聲過程，而且量化噪聲功率（q/√12，其中q 為1 LSB）統(tǒng)一最大為Fs/2。

圖 3：過采樣效應（Quantization noise：量化噪聲；Frequency：頻率；Oversampling by a factor of K：按K因子的過采樣）

當按K因子進行過采樣時，相同的量化噪聲功率均勻地分布，最高達KFs/2，因此量化噪聲功率在Fs/2區(qū)域中會降低。

∑-Δ轉換器的魔幻性能

從下面曲線中您可以確定什么？

圖 4：∑-Δ（左側）與頻域中普通/噪聲整形數(shù)模轉換器（右側）的比較

在圖4中，左側遠遠超過右側中兩種噪聲水平中的任何一個。只要此系統(tǒng)在左側，它所表示的1 KHz信號都會比右側其它兩個的信號要好。

此系統(tǒng)是什么？

圖 5：∑-Δ調制器的時域信號（a）和普通近似正弦波（b）

這里甚至不是數(shù)模轉換器！它只是一個系統(tǒng)，提供在+/-全范圍的信號，但在與它關聯(lián)的信號頻率附近，底噪仍會更低。我們如何把握它？

圖5b是普通數(shù)模轉換器的輸出，我們至少可以視其為正弦波。但圖5a呢？它如何才能更好地代表1KHz信號呢？

這里就是此∑-Δ轉換器的魔幻性能。

增量調制基礎知識中就包含了答案。那么增量調制是什么？

增量調制（DM或Δ-調制）是模數(shù)或數(shù)模信號轉換技術，用于傳輸對質量要求不高的語音信息。DM是差分脈沖編碼調制（DPCM）最簡單的形式，其中連續(xù)樣本之間的差異被編碼成n比特數(shù)據(jù)流。在DM中，將所傳輸?shù)臄?shù)據(jù)減少到1比特數(shù)據(jù)流。

它采用預測算法運行。以簡單情況為例，它預計當前的采樣與之前的采樣相同。然后比較這兩次采樣，如果輸入較大，則發(fā)送a +Δ，如果輸入較小，則發(fā)送a –Δ；在接收器端也類似，保持跟蹤+/- Δ，這樣系統(tǒng)能夠很好地辨別信號值何時增加、何時降低，從而可重建信號。雖然有兩個相關問題，即斜率過載和粒度，但我們不會深入鉆研，從而能夠更多地關注發(fā)送誤差值而非實際值這一個重要方面，如果是正弦波，仍會重組輸入信號。

以店主為例，如果他第一天收取9盧比，第二天收取9.5盧比，第三天收取8盧比，而第四天則收取11盧比，但是即使這樣安排，10天后，您仍會為此商品支付9.9盧比，從而把您搞糊涂。隨機誤差只將噪聲轉換到更高頻率，在目標帶寬中產生良好的信噪比。

∑-Δ模數(shù)轉換器：噪聲整形 + 過采樣

我們已經了解了噪聲整形和過采樣的基本概念?，F(xiàn)在讓我們了解∑-Δ調制器如何利用這些概念，提供比其他轉換器更好的動態(tài)性能（高信噪比）。

圖 6：過采樣和噪聲整形（NYQUIST OPERATION： NYQUIST定理運算；QUANTIZATION NOISE：量化噪聲；OVERSAMPLING：過采樣；DIGITAL FILTER：數(shù)字濾波器；DECIMATION：抽?。籖EMOVED NOISE：移除的噪聲；NOISE SHAPING：噪聲整形）

圖A：量化噪聲均勻分布，最高達Fs/2

圖B：讓我們按K因子進行過采樣，這會產生什么影響？相同的噪聲分布，最高達KFs/2，導致噪聲較低，最高達Fs/2。

圖C：在此，我們所涉及的噪聲整形會將噪聲轉換到更高頻率，從而進一步降低相關頻段內的噪聲。

因此∑-Δ轉換器采用上圖6所示的噪聲整形和過采樣技術，從根本上降低了目標帶寬中的噪聲。

數(shù)字抽取濾波器

圖 7：數(shù)字抽取濾波器（1 Bit stream:1比特流；Multi bit data：多比特數(shù)據(jù)；Output data：輸出數(shù)據(jù)；Analog input：模擬輸入；Sigma delta modulator：∑-Δ調制器；Digital low pass filter：數(shù)字低通濾波器；Decimation filter：抽取濾波器）

∑-Δ調制器的單比特流輸出到數(shù)字抽取濾波器，平均值降低，然后降低采樣數(shù)，從而以目標采樣率Fs生成N位采樣。數(shù)字濾波器是求平均值的低通濾波器。它衰減量化噪聲，并刪除目標頻段的別名。一般來說，Sinc傳輸函數(shù)可用作低通濾波器。

對輸入信號進行過采樣，以便降低量化噪聲，因此可在引入失真的情況下消除冗余數(shù)據(jù)。抽取過程僅降低了輸出采樣率，同時保留必要的信息。帶Sinc傳輸函數(shù)的FIR濾波器可通過抽取進行數(shù)字濾波。

一階和二階∑-Δ模數(shù)轉換器

首先，讓我們來看看一階∑-Δ模數(shù)轉換器的基本功能。

圖 8：一階∑-Δ模數(shù)轉換器（Integrator：積分器；Comparator comparing to 0：比較器（與0進行比較）；Digital filter：數(shù)字濾波器；1 Bit DAC： 1位數(shù)模轉換器）

在圖9中，A表示固定輸入3VDC。B、C、D和E為信號路徑中的各點。數(shù)模轉換器的基準電壓為8V。

最初，B、C、D和E都為0。在每步中，積分器累積輸入信號和反饋信號之間的誤差，然后饋送到與0進行比較的比較器。在比較過程中，比較器在每步中都引入量化噪聲。比較器的輸出傳輸?shù)綄?a target="_blank">數(shù)字信號轉換為模擬電壓的1比特數(shù)模轉換器。由于數(shù)模轉換器的基準電壓為8V，因此“1”表示8V，而“0”表示0V。數(shù)模轉換器的輸出再次與輸入信號進行比較。

表2：一階∑-Δ模數(shù)轉換器