在伺服控制系統(tǒng)設(shè)計或是伺服電機(jī)的選型過程中，常常需要考慮慣量問題，慣量是影響伺服系統(tǒng)響應(yīng)速度和穩(wěn)定性的重要因素?？偟膩碚f，是希望系統(tǒng)的總體慣量越小越好，因為更小的系統(tǒng)慣量意味著更大的加速能力和更快的瞬態(tài)響應(yīng)速度。在負(fù)載慣量一定的條件下，我們通常通過減小電機(jī)的轉(zhuǎn)子慣量來達(dá)到降低系統(tǒng)總體慣量的目的，但這樣的做法則不可避免的遇到慣量匹配的問題。

慣量匹配原則是指折算到電機(jī)軸的負(fù)載慣量與電機(jī)的轉(zhuǎn)子慣量之比不能過大，必須小于一個推薦值，當(dāng)慣量比過大時，系統(tǒng)一般會出現(xiàn)振蕩甚至失控。這樣一個原則被廣泛接受和使用，但是很少有人去深究其內(nèi)在的理論依據(jù)，伺服系統(tǒng)的設(shè)計者通常也并不十分清楚負(fù)載電機(jī)慣量比與系統(tǒng)穩(wěn)定性的深層關(guān)系，因此慣量匹配原則始終作為一個經(jīng)驗法則存在著。

本文建立了一個簡單的物理模型，用于分析慣量匹配對系統(tǒng)控制的影響，并基于此分析得到關(guān)于慣量匹配的實用性建議，為更好的理解負(fù)載電機(jī)慣量比與系統(tǒng)穩(wěn)定性、響應(yīng)性能等之間的關(guān)系，更合理的利用慣量匹配原則提供參考。

1.伺服系統(tǒng)建模

1.1 傳統(tǒng)模型

在傳統(tǒng)的伺服系統(tǒng)設(shè)計中，一般認(rèn)為負(fù)載和電機(jī)之間的傳動裝置剛性是無窮大的，其模型示意圖如圖1：

圖1 簡單的電機(jī)——負(fù)載傳動模型

設(shè)定電機(jī)的轉(zhuǎn)動慣量為JM;負(fù)載慣量為JL;傳動比為i;傳動效率為η;傳動裝置慣量為JC;電機(jī)軸轉(zhuǎn)速為ωM;電機(jī)軸輸出轉(zhuǎn)矩為TM，系統(tǒng)滿足以下基本方程：負(fù)載轉(zhuǎn)速ωL：

負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL：

折算到電機(jī)軸的負(fù)載慣量JLM：

從以上表達(dá)式可以看出，如果使用減速比為i的減速器連接負(fù)載和電機(jī)，電機(jī)輸出的轉(zhuǎn)速將會下降為原來的1/ i;而折算到電機(jī)軸上的慣量會下降為原來的1/ i2，對于大慣量負(fù)載而言，這是降低負(fù)載電機(jī)慣量比的有效方法，但是系統(tǒng)的加速轉(zhuǎn)矩也將會提高到原來的i倍。

如果系統(tǒng)滿足慣量匹配，一般認(rèn)為此時系統(tǒng)可以達(dá)到最大的能量傳遞效率，而負(fù)載也將獲得最大的加速性能。為了確定負(fù)載電機(jī)慣量比與系統(tǒng)加速性能之間的關(guān)系，對圖1中的系統(tǒng)作如下假定：

(1)直接耦合到電機(jī)軸上的齒輪或皮帶輪的慣量作為電機(jī)轉(zhuǎn)子慣量的一部分;

(2)直接耦合到負(fù)載軸上的齒輪或皮帶輪的慣量作為負(fù)載慣量的一部分;

(3)忽略傳動裝置的效率、摩擦和自身慣量等因素;系統(tǒng)滿足方程：

(1) 電機(jī)的加速度為：

(2) 其中為

負(fù)載的加速度。

由(1)、(2)兩式可以推出，負(fù)載的加速度為：

(3) 電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩TM一定，要知道最大負(fù)載加速度時的慣量比，即需要知道確定最大負(fù)載加速度時對應(yīng)的傳動比i的值，式(3)對i求導(dǎo)，得：

(4) 令式(4)等于0;得：

(5)

由式(5)不難算出，當(dāng)負(fù)載獲得最大加速度時，折算到電機(jī)軸的負(fù)載慣量JLM與電機(jī)轉(zhuǎn)矩JM之比為1:1。從以上分析可知，在理想狀態(tài)下，調(diào)整負(fù)載電機(jī)慣量比為1:1有助于系統(tǒng)的加速性能。但在實際應(yīng)用過程中，由于傳動裝置的效率，空程間隙等機(jī)械特性，傳動裝置自身的慣性，負(fù)載的反沖作用，系統(tǒng)的傳動剛性等諸多因素的影響，設(shè)置負(fù)載慣量比為1:1并不具有很高的效率，而且增加減速比的方式也會提高整個系統(tǒng)所需要的加速轉(zhuǎn)矩。

在如上諸多因素中，系統(tǒng)的傳動剛性是最需要考慮的問題，因為在系統(tǒng)傳動剛性較差的前提下，如果負(fù)載電機(jī)的慣量比過大將會導(dǎo)致系統(tǒng)振蕩，出于系統(tǒng)穩(wěn)定性的考慮，需要修改電機(jī)到負(fù)載的傳動模型。

1.2改進(jìn)模型

使用一根彈性軸作為連接負(fù)載和電機(jī)的傳動裝置，忽略傳動裝置的內(nèi)部細(xì)節(jié)，忽略彈性軸直徑等次要因素，僅僅將注意力放在傳動剛性上，基于以上假設(shè)建立負(fù)載和電機(jī)之間的傳動模型，其示意圖如圖2：

圖2 電機(jī)——負(fù)載彈性傳動模型

圖中：TM為電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩;TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩;BM和BL分別為電機(jī)和負(fù)載的粘性摩擦系數(shù);KS為彈性軸的抗扭剛度;ωM和ωL分別是電機(jī)和負(fù)載的轉(zhuǎn)速，θM和θL分別表示電機(jī)和負(fù)載角位移，θS為彈性軸的扭轉(zhuǎn)度。

JM和JL分別為電機(jī)和負(fù)載的轉(zhuǎn)動慣量，系統(tǒng)滿足運(yùn)動方程：

(6)

(7)

(8) 使用式(6)、(7)、(8)可以得到電機(jī)和負(fù)載速度響應(yīng)，通過拉氏轉(zhuǎn)換求得其傳遞函數(shù)，分別表示為：

(9)

(10) 其中式(9)為電機(jī)的速度響應(yīng)、式(10)為負(fù)載的速度響應(yīng)。

θS是一個與表征系統(tǒng)振蕩特性的變量，忽略粘性摩擦系數(shù)，由式子(8)、(9)、(10)可得：

(11) 使用一個單位階躍力矩TS作用于系統(tǒng)，對式(11)做拉氏轉(zhuǎn)換的逆運(yùn)算可得：

(12) 其中Ir為負(fù)載電機(jī)慣量比，即：

式(12)為表征系統(tǒng)的振蕩特性的表達(dá)式。從式(12)可以看出，增大系統(tǒng)的傳動剛度將升高振蕩的頻率，但會降低振蕩的幅值，當(dāng)系統(tǒng)的傳動剛度為無窮大時，振蕩消失。小范圍內(nèi)增大慣量比將小幅度的降低振蕩頻率，同時小幅度增大振蕩幅值，但是當(dāng)慣量比很大的時候，較小范圍調(diào)整慣量比的值對系統(tǒng)振蕩已經(jīng)沒有明顯的影響。總而言之，相比較慣量比而言，系統(tǒng)的傳動剛性是影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的更重要的因素。

2. 慣量匹配的實用性原則

如果系統(tǒng)傳動剛性為無窮大，那么負(fù)載電機(jī)慣量比也可以設(shè)置到無窮大。對于一個無限傳動剛性的系統(tǒng)而言，負(fù)載慣量和電機(jī)慣量可以看做統(tǒng)一的整體，甚至可以認(rèn)為負(fù)載和電機(jī)軸是一體的，此時慣量比不再成為問題，慣量匹配原則也將失效。從上文的分析可知，負(fù)載電機(jī)慣量比并不是導(dǎo)致系統(tǒng)振蕩的主因，而只是振蕩的指示標(biāo)志，其更大的原因是系統(tǒng)的傳遞剛性，如何希望根除系統(tǒng)振蕩現(xiàn)象，更多的時候應(yīng)該從增大系統(tǒng)傳動剛性的角度下功夫。

對于通常條件下使用到的傳動裝置，我們也可以通過式(12)來做定性分析，從式中我們可以知道對于小范圍內(nèi)變化的負(fù)載慣量，可以通過增大系統(tǒng)傳動剛性Ks、或是降低負(fù)載電機(jī)慣量比來規(guī)避系統(tǒng)振蕩，但是對于確定負(fù)載電機(jī)慣量比的上限，通常的辦法是利用經(jīng)驗法則。

對于常見的滾珠絲杠伺服系統(tǒng)，一般認(rèn)為當(dāng)慣量比大于10:1時系統(tǒng)對負(fù)載慣量的變化將變得十分敏感，而對于步進(jìn)電機(jī)的控制，一般認(rèn)為慣量比大于2:1~3:1時，系統(tǒng)將變得難以控制，實際上摩擦對降低振蕩是有幫助的，步進(jìn)電機(jī)的定位轉(zhuǎn)矩對吸收振蕩有一定的作用，通常情況下步進(jìn)電機(jī)的慣量比上限可達(dá)到4:1~5:1。另外對于有些伺服電機(jī)宣稱的可以達(dá)到慣量比50:1，實際上是保持系統(tǒng)穩(wěn)定性條件下明顯犧牲系統(tǒng)的加速性能的一種控制方式，并不在本文的討論范圍內(nèi)。

3. 結(jié)論

本文討論的彈性軸負(fù)載——電機(jī)傳動模型，可以清晰直觀的幫助了解系統(tǒng)穩(wěn)定性與負(fù)載電機(jī)慣量比之間關(guān)系。但由于此模型中未提及傳動裝置內(nèi)部摩擦、負(fù)載的反沖作用力等諸多影響伺服系統(tǒng)穩(wěn)定性的因素，在實際應(yīng)用中仍有其局限性。

審核編輯：湯梓紅

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