四元數(shù)是簡單的超復(fù)數(shù)。 復(fù)數(shù)是由實數(shù)加上虛數(shù)單位 i 組成，其中i^2 = -1。 相似地，四元數(shù)都是由實數(shù)加上三個虛數(shù)單位 i、j、k 組成，而且它們有如下的關(guān)系： i^2 = j^2 = k^2 = -1， i^0 = j^0 = k^0 = 1 ， 每個四元數(shù)都是 1、i、j 和 k 的線性組合，即是四元數(shù)一般可表示為a + bk+ cj + di，其中a、b、c 、d是實數(shù)。

　　對于i、j、k本身的幾何意義可以理解為一種旋轉(zhuǎn)，其中i旋轉(zhuǎn)代表X軸與Y軸相交平面中X軸正向向Y軸正向的旋轉(zhuǎn)，j旋轉(zhuǎn)代表Z軸與X軸相交平面中Z軸正向向X軸正向的旋轉(zhuǎn)，k旋轉(zhuǎn)代表Y軸與Z軸相交平面中Y軸正向向Z軸正向的旋轉(zhuǎn)，-i、-j、-k分別代表i、j、k旋轉(zhuǎn)的反向旋轉(zhuǎn)。

　　四元數(shù)（Quaternions）是由愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓（William Rowan Hamilton，1805-1865）在1843年發(fā)明的數(shù)學(xué)概念。四元數(shù)的乘法不符合交換律（commutative law），故它似乎破壞了科學(xué)知識中一個最基本的原則。明確地說，四元數(shù)是復(fù)數(shù)的不可交換延伸。如把四元數(shù)的集合考慮成多維實數(shù)空間的話，四元數(shù)就代表著一個四維空間，相對于復(fù)數(shù)為二維空間。

　　四元數(shù)是除環(huán)（除法環(huán)）的一個例子。除了沒有乘法的交換律外，除法環(huán)與域是相類的。特別地，乘法的結(jié)合律仍舊存在、非零元素仍有唯一的逆元素。

　　四元數(shù)形成一個在實數(shù)上的四維結(jié)合代數(shù)（事實上是除法代數(shù)），并包括復(fù)數(shù)，但不與復(fù)數(shù)組成結(jié)合代數(shù)。四元數(shù)（以及實數(shù)和復(fù)數(shù)）都只是有限維的實數(shù)結(jié)合除法代數(shù)。

　　四元數(shù)的不可交換性往往導(dǎo)致一些令人意外的結(jié)果，例如四元數(shù)的 n-階多項式能有多于 n 個不同的根。