拓?fù)鋵W(xué)，英文為 Topology，最初是幾何學(xué)的一個(gè)分支。通常的幾何學(xué)是研究平面或幾何體上點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系以及它們的度量性質(zhì)；拓?fù)鋵W(xué)對(duì)研究對(duì)象的長(zhǎng)短、大小、面積、體積等度量性質(zhì)和位置關(guān)系都不關(guān)心，而是研究幾何形狀在連續(xù)形變下的不變性，即“拓?fù)洳蛔冃浴焙汀巴負(fù)涞葍r(jià)性”等內(nèi)容。

在通常的平面幾何和立體幾何中，兩個(gè)圖形等價(jià)，是要求兩個(gè)圖形通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)等操作能夠完全重合；在拓?fù)鋵W(xué)里所研究的圖形，大小、形狀都可以改變，但是表面的點(diǎn)、線的結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系應(yīng)該保持不變。如圖1，粉色的圖形通過(guò)連續(xù)的變形可以從球逐漸變成雞蛋、表面凹陷的球、類似鴨舌帽的圖形等。

在幾何拓?fù)涞幕A(chǔ)上，通過(guò)幾何的微分形式研究體系的整體性質(zhì)就是微分拓?fù)?，其包含兩個(gè)核心概念：底流形和纖維叢。流形是歐幾里德空間的一個(gè)子集，這個(gè)子集不一定是平直的，可以是一個(gè)平面、一個(gè)球面等幾何形狀。

底流形，顧名思義就相當(dāng)于我們選取的一個(gè)基底空間。纖維，就是定義在基底空間上的可參數(shù)化的空間。例如，向量空間等，而纖維叢就是基底空間與纖維空間的乘積空間。例如，二維平面可以看成是兩個(gè)一維平面的乘積，圓柱面可以看作是圓圈和一維直線空間的乘積。纖維叢的一個(gè)形象比喻就是一把卷發(fā)梳：底流形是梳柄，而纖維則是上面的一根根梳齒。

微分拓?fù)湟言谖锢硌芯恐邪l(fā)揮重要的作用。例如，高能物理中的規(guī)范反常和引力反常，凝聚態(tài)物理中的整數(shù)量子霍爾效應(yīng)，分?jǐn)?shù)電荷等，都與各種物理空間中的拓?fù)湫再|(zhì)相關(guān)。

拿一個(gè)二維體系的電子結(jié)構(gòu)舉例：在二維體系中，考慮周期性邊界條件，其動(dòng)量空間張成了輪胎面狀的布里淵區(qū)（底流形），布里淵區(qū)內(nèi)所有占據(jù)態(tài)的布洛赫波函數(shù)以及布里淵區(qū)就構(gòu)成了纖維叢，可以借助微分幾何的概念來(lái)刻畫材料電子結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫再|(zhì)。

“拓?fù)洹迸c磁性的第一次結(jié)合是整數(shù)量子霍爾效應(yīng)

1980年，Von Klitzing等發(fā)現(xiàn)二維電子氣在極低溫條件下，隨著外加磁場(chǎng)的增強(qiáng)，霍爾電導(dǎo)不再隨磁場(chǎng)連續(xù)變化，而是呈現(xiàn)出一個(gè)個(gè)量子化的平臺(tái)，如圖3所示。因此項(xiàng)研究，Von Klitzing獲得了1985年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

在量子霍爾效應(yīng)體系中，材料的邊界上會(huì)形成一些貫穿能隙的邊界態(tài)，邊界態(tài)的數(shù)目對(duì)應(yīng)于陳數(shù)（一種拓?fù)鋽?shù)）。D.Thouless最早利用微分拓?fù)渲械年悢?shù)解釋了量子霍爾電導(dǎo)平臺(tái)的穩(wěn)定性，他也因?yàn)檫@一工作獲得了2016年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

從2005年開始，拓?fù)鋵W(xué)的知識(shí)在固體物理中得到了廣泛的應(yīng)用。Kane和 Mele等在研究二維石墨烯時(shí)最早提出了“拓?fù)浣^緣體”的概念。二維拓?fù)浣^緣體，又稱量子自旋霍爾效應(yīng)絕緣體，是一種全新的量子物態(tài)，它的體態(tài)是絕緣的，但是在邊界上存在拓?fù)浔Ｗo(hù)的、能夠?qū)щ姷倪吔鐟B(tài)。

如圖4所示，量子自旋霍爾邊界態(tài)具有重要的“自旋過(guò)濾”特性：在邊界上，自旋向上的電子都向右運(yùn)動(dòng)，而自旋向下的電子向左傳播，彼此互不干擾，可以有效抑制“背散射”。因此，量子自旋霍爾效應(yīng)體系在微納尺度是無(wú)電阻的理想導(dǎo)體。

“拓?fù)洹迸c磁性的第二次結(jié)合是量子反?；魻栃?yīng)的實(shí)現(xiàn)

量子反?；魻栃?yīng)不同于量子霍爾效應(yīng)，它的產(chǎn)生不依賴于外加磁場(chǎng)而由材料本身的磁化產(chǎn)生。早在1988年，Haldane就提出了一種在六角晶格中實(shí)現(xiàn)這種無(wú)外加磁場(chǎng)的量子霍爾效應(yīng)的理論模型，由此他也分享了2016年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

2013年，薛其坤院士團(tuán)隊(duì)在實(shí)驗(yàn)上首次觀測(cè)到了量子反?；魻栃?yīng)，該工作獲得了國(guó)家自然科學(xué)一等獎(jiǎng)，其本人也獲得了2020年度的菲列茲·倫敦獎(jiǎng)，成為首個(gè)獲得這一榮譽(yù)的中國(guó)科學(xué)家。

2011年，隨著對(duì)拓?fù)浣^緣體的深入研究，人們又發(fā)現(xiàn)了拓?fù)浒虢饘伲核哪芟稙榱?，費(fèi)米面是孤立的點(diǎn)或者閉合的線。拓?fù)浒虢饘偈遣煌谕負(fù)浣^緣體的一類新的拓?fù)淞孔討B(tài)。根據(jù)節(jié)點(diǎn)的簡(jiǎn)并狀況及在動(dòng)量空間中的分布，拓?fù)浒虢饘倏梢约?xì)分為外爾半金屬（WSM）、狄拉克半金屬（DSM）和節(jié)點(diǎn)線半金屬（NLSM）等。

如圖5所示，前兩種半金屬的費(fèi)米面是動(dòng)量空間中幾個(gè)孤立的費(fèi)米點(diǎn)，而NLSM中的費(fèi)米面是一維的閉合環(huán)線。與拓?fù)浣^緣體一樣，拓?fù)浒虢饘僖灿性S多新奇的物性，包括動(dòng)量空間中的磁單極子、費(fèi)米弧、外爾異常和負(fù)磁阻效應(yīng)等。

“拓?fù)洹迸c磁性的第三次結(jié)合是磁性拓?fù)浒虢饘?/p>

2011年，萬(wàn)賢剛等最早預(yù)言了燒綠石結(jié)構(gòu)的反鐵磁處于一種外爾半金屬相。隨后，徐剛等發(fā)現(xiàn)了尖晶石結(jié)構(gòu)中鐵磁態(tài)的三維拓?fù)浒虢饘?HgCr2Se4。自此，越來(lái)越多的磁性Weyl半金屬材料相繼提出，包括Heusler化合物、Kagome層狀材料和蜂窩狀晶格材料等。

與此同時(shí)，對(duì)于磁性Dirac半金屬材料的研究也獲得廣泛關(guān)注，包括CuMnAs、EuCd2As2等材料體系被相繼提出。磁性NLSM體系包括層狀的Fe3GeTe2和LaCl等。

這里我們選取EuCd2As2體系作為磁性拓?fù)浒虢饘俚睦樱?jiǎn)單介紹其新穎的拓?fù)湮镄?。EuCd2As2是一種具有層間反鐵磁結(jié)構(gòu)的狄拉克半金屬，在費(fèi)米能級(jí)上只存在一對(duì)狄拉克點(diǎn)，如圖6所示。

通過(guò)調(diào)整磁矩方向，在EuCd2As2中還可以實(shí)現(xiàn)軸子絕緣體等新奇拓?fù)湮飸B(tài)——在其某些表面上可以打開表面態(tài)的能隙，實(shí)現(xiàn)半整數(shù)量子霍爾效應(yīng)、拓?fù)浯烹娦?yīng)、軸子極化激元等物理現(xiàn)象。EuCd2As2的發(fā)現(xiàn)為研究拓?fù)湎嘧兒托滦头磋F磁拓?fù)湮飸B(tài)提供了一個(gè)理想平臺(tái)。

相比于非磁拓?fù)洳牧希判酝負(fù)洳牧献畲蟮膬?yōu)勢(shì)就是通過(guò)外加磁場(chǎng)可以有效調(diào)控磁性拓?fù)洳牧系拇呕较?，從而?shí)現(xiàn)不同拓?fù)鋺B(tài)之間的拓?fù)湎嘧儭＠?，外加磁?chǎng)可以實(shí)現(xiàn)磁性拓?fù)浒虢饘俚健傲孔臃闯；魻枒B(tài)”、軸子絕緣體的轉(zhuǎn)變。

這些拓?fù)滢D(zhuǎn)變可以巨大地改變材料的物理性質(zhì)，可以用來(lái)設(shè)計(jì)拓?fù)潆娮訉W(xué)器件。除了電學(xué)、磁學(xué)方面的新奇物性，磁性拓?fù)洳牧显?a href="http://m.sdkjxy.cn/v/tag/4854/" target="_blank">光學(xué)等其他領(lǐng)域也有應(yīng)用，包括實(shí)現(xiàn)拓?fù)浯殴庑?yīng)、用于宇宙暗物質(zhì)探測(cè)等。

與拓?fù)湎嚓P(guān)的研究還包括高階拓?fù)浣^緣體、非厄米系統(tǒng)中的拓?fù)鋺B(tài)、磁性-超導(dǎo)材料異質(zhì)結(jié)中的拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)等。這些前沿研究具有廣泛而深遠(yuǎn)的戰(zhàn)略意義。其中，拓?fù)渑c磁性的結(jié)合尤為重要。一方面它可以提升我國(guó)的科研創(chuàng)新能力，另一方面相關(guān)量子現(xiàn)象的探測(cè)和調(diào)控研究將為新一代自旋電子器件、量子通信、拓?fù)淞孔佑?jì)算機(jī)等領(lǐng)域打下堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)和材料基礎(chǔ)。

來(lái)源：《大學(xué)科普》“理論物理”科普專題

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