什么是波導(dǎo)？

直白的講波導(dǎo)就是將能量從一個(gè)地方傳到另一個(gè)地方的器件。

波導(dǎo)能夠?qū)⒛芰渴`在一個(gè)中空的金屬中，這樣能大大降低能量傳輸過(guò)程中的損耗，而不是像天線那樣直接將能量輻射到整個(gè)空間中。

可以把波導(dǎo)理解成指向性特別強(qiáng)的天線，能量只能在波導(dǎo)能傳播，而不能擴(kuò)散到別的地方。

波導(dǎo)跟同軸線一樣，是一種傳輸線，波導(dǎo)中有一個(gè)很重的要概念叫截止頻率?(cutoff frequency)。

波導(dǎo)中只能傳輸比截止頻率高的能量，而比截止頻率低的能量會(huì)很快在波導(dǎo)中衰減掉。

所以波導(dǎo)可以被看成一種高通濾波器。

波導(dǎo)有方波導(dǎo)和圓波導(dǎo)，也有彎曲波導(dǎo)，以方波導(dǎo)為例，講一下波導(dǎo)中的幾個(gè)重要的概念。

如上圖所示，波導(dǎo)的長(zhǎng)為a，寬為b，其中a>b，假設(shè)波導(dǎo)中填充的介質(zhì)的介電常數(shù)為?，磁導(dǎo)率為??，波導(dǎo)中的傳播方向?yàn)閆方向，波導(dǎo)截面位于XOY平面。

首先就是前面提到的截止頻率，每個(gè)波導(dǎo)都有自己的截止頻率?，頻率高于或等于截止頻率的信號(hào)可以在波導(dǎo)中傳輸，頻率低于截止頻率的信號(hào)會(huì)在波導(dǎo)中衰減。

截止頻率的大小由波導(dǎo)的橫截面的尺寸決定，波導(dǎo)的橫截面越大，截止頻率越低，公式如下所示：

由以上公式可以看出，如果波導(dǎo)是中空的，方波導(dǎo)的介質(zhì)頻率由長(zhǎng)邊a決定。

柱面波導(dǎo)的截止頻率的公式為：

其中r是圓波導(dǎo)的半徑，圓波導(dǎo)的介質(zhì)頻率由半徑r決定。

波導(dǎo)中還有一個(gè)很重要的概念是模式，那什么是波導(dǎo)中的模式呢？

波導(dǎo)中的模式說(shuō)白了就是波在波導(dǎo)中的“形狀”(The fields within the waveguide always have a specific "form" or "waveshape" to them - these are called modes [3])。

波導(dǎo)中的模式可以分為TE模和TM模，那什么是TE模，什么是TM模呢。

我們知道空間中的電場(chǎng)和磁場(chǎng)都可以分為三個(gè)方向分量：x,y,z，我們假設(shè)波導(dǎo)的傳播方向?yàn)閆方向。

TE模就是電場(chǎng)在傳播方向是分量為零，即?,所有的電場(chǎng)能量都在截面方向。

TM模就是磁場(chǎng)在傳播方向分量為零，即?，所有的磁場(chǎng)能量都在截面方向。

波導(dǎo)中的模式分為模式，i和j分別表示波在長(zhǎng)邊a和短邊b方向振蕩了多少次，如圖3所示，電場(chǎng)在橫截面上振蕩了一次就是TE10，在橫截面上振蕩了兩次就是TE20，磁場(chǎng)以此類推。

后面我會(huì)詳細(xì)通過(guò)公式去講解，這里只是一個(gè)簡(jiǎn)單介紹，有個(gè)直觀的感受。

由于邊界條件的限制，波導(dǎo)中沒(méi)有TEM模，根據(jù)波導(dǎo)提供的邊界條件，亥姆赫茲方程沒(méi)有TEM模的解。

波導(dǎo)中場(chǎng)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

沒(méi)有公式推導(dǎo)的講解就是耍流氓。

很少有人喜歡公式推導(dǎo)，但是我認(rèn)為波導(dǎo)中場(chǎng)的公式推導(dǎo)是很必要的。

因?yàn)椴▽?dǎo)屬于規(guī)則物體，可以用經(jīng)典的分離變量法求解。

講解過(guò)程中，我盡量詳細(xì)闡述推導(dǎo)過(guò)程和每一步的物理意義。

我們可以把波導(dǎo)看成一個(gè)無(wú)源的區(qū)域(source-free region)，根據(jù)麥克斯韋方程組的高斯定理：

?(電場(chǎng)散度度為零）

為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，我們一般都會(huì)將散度為零的矢量場(chǎng)用旋度為零的另一個(gè)矢量場(chǎng)來(lái)表示（如果不明白的話，可以去看一下電磁場(chǎng)課本的第一章）：

?, 由此可得?

其中?沒(méi)有實(shí)際物理意義，是拿來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算的，在這里我需要強(qiáng)調(diào)一下，大家在推導(dǎo)公式的時(shí)候，一定要明白每一步所代表的物理意義。

現(xiàn)在我們假設(shè)波導(dǎo)中的場(chǎng)為T(mén)E模式（Ez=0）,通過(guò)將?寫(xiě)成標(biāo)量的形式可以得到波導(dǎo)內(nèi)的電場(chǎng)分布：

通過(guò)麥克斯韋方程組中的法拉第電磁感應(yīng)定律

因此，如果我們能得到Fz，我們就可以得到波導(dǎo)中的場(chǎng)分布，接下來(lái)的任務(wù)就是求解Fz

根據(jù)麥克斯韋方程組我們知道在一個(gè)無(wú)源的場(chǎng)中，場(chǎng)矢量滿足波動(dòng)方程：

在這里我們只需計(jì)算Fz，因此，通過(guò)以上公式可以得到

?，將換成偏微分的形式?

接下來(lái)就是解這個(gè)二階偏微分方程了，很明顯這是直角坐標(biāo)系中的方程，用最基本的分離變量法就可以求解，具體求解過(guò)程可以參考入門(mén)的電磁場(chǎng)書(shū)籍。

很顯然我們需要根據(jù)波導(dǎo)的邊界條件求出以上公式中未知數(shù)的值，在波導(dǎo)中波導(dǎo)壁上的切向場(chǎng)必然為零，也就是當(dāng)y=0和b時(shí)，?,當(dāng)x=0和a時(shí)，??，從而求得：

從上式中可以看出只有m和n為一定值得場(chǎng)才能在波動(dòng)中存在，這也就是我們所說(shuō)的模式，因?yàn)槲覀兦蠼獾氖荰E模式，所以就寫(xiě)成?，其中m代表在X軸上波震動(dòng)的次數(shù)，n代表在Y軸上波震動(dòng)的次數(shù)。

將Fz帶入之前波導(dǎo)中電場(chǎng)分布的公式中，我們可以得到波導(dǎo)中的TE模式場(chǎng)的分布表達(dá)式

磁場(chǎng)分布可以向?qū)?yīng)的求解出來(lái)，在這里就不羅列了，主要是我太懶了，不想在敲公式了。

從電場(chǎng)分布可以看出，不同的模式的幅度Amn都是各自獨(dú)立的。

現(xiàn)在我們就可以求解波導(dǎo)中各種模式的截止頻率了，首先我們知道

將kx和ky帶入得

只有當(dāng)滿足kz大于等于0的時(shí)候，波才能夠傳播，因此我們求得對(duì)于不同模式的波在波導(dǎo)中的截止頻率為

模式越高，截止頻率越大。

審核編輯 ：李倩