層次分析法原理

層次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一種多準(zhǔn)則決策分析方法，可用于輔助決策者在多個指標(biāo)或因素中進行排序或比較。該方法可以通過對多個因素進行兩兩比較獲得權(quán)重，從而建立一個層次結(jié)構(gòu)，進而進行綜合評價和排名。

下面是一些詳解層次分析算法的步驟：

明確決策目標(biāo)，確定需要評估的準(zhǔn)則和子準(zhǔn)則：首先明確決策目標(biāo)，然后考慮需要評價的準(zhǔn)則和子準(zhǔn)則。這些準(zhǔn)則和子準(zhǔn)則應(yīng)該盡可能具體、完整，以便進行比較。

建立層次結(jié)構(gòu)：將目標(biāo)、準(zhǔn)則和子準(zhǔn)則構(gòu)成一個層次結(jié)構(gòu)，其中目標(biāo)位于最頂層，準(zhǔn)則和子準(zhǔn)則逐層展開，直到最底層。

對每個準(zhǔn)則和子準(zhǔn)則進行兩兩比較，得出權(quán)重：對于每個準(zhǔn)則和子準(zhǔn)則，根據(jù)它們對上一級準(zhǔn)則或目標(biāo)的相對重要性進行兩兩比較，生成判斷矩陣，并計算出每個準(zhǔn)則和子準(zhǔn)則相對于上一級準(zhǔn)則或目標(biāo)的權(quán)重。

計算一致性比率（CR）：在計算權(quán)重時，需要考慮判斷矩陣的一致性。通過計算一致性指標(biāo)和隨機一致性指標(biāo)，可以得出一致性比率，并判斷結(jié)果是否可行。

綜合評價：根據(jù)各個準(zhǔn)則和子準(zhǔn)則的權(quán)重，可以得出每個方案的綜合評價。

層次分析法是一種較為常用的決策分析方法，應(yīng)用廣泛。但是，在實際應(yīng)用中需要注意判斷矩陣的構(gòu)造和一致性比率的計算，以確保評價結(jié)果的可靠性。

層次分析法數(shù)學(xué)模型

層次分析法 (Analytic Hierarchy Process, AHP) 包含的數(shù)學(xué)公式如下：

相對重要性矩陣

將兩兩比較得出的判斷矩陣記為 ，。其中， 表示因素 相對于因素 的相對重要度。

加權(quán)矩陣

將相對重要性矩陣 與準(zhǔn)則/子準(zhǔn)則的權(quán)重向量 相乘，得到加權(quán)矩陣 ：

一致性指標(biāo)

通過計算加權(quán)矩陣 的列和，得到一致性指標(biāo) ：

其中， 是與 相關(guān)的最大特征根。

隨機一致性指標(biāo)

在 的范圍內(nèi)，預(yù)先計算一組隨機一致性指標(biāo) ，然后計算隨機一致性比例 ：

其中，CI 是一致性指標(biāo)。

最終權(quán)重向量

當(dāng) 時，可將 當(dāng)作最終權(quán)重向量。最終權(quán)重向量 可以通過歸一化加權(quán)矩陣得到：

以上就是層次分析法中的主要數(shù)學(xué)公式。在具體應(yīng)用中，需要進行矩陣運算、特征根分解等數(shù)學(xué)操作。

MATLAB代碼實現(xiàn)

在 MATLAB 中實現(xiàn)層次分析法可以參考以下步驟：

構(gòu)造相對重要性矩陣

通過兩兩比較，構(gòu)造相對重要性矩陣 。在 MATLAB 中，可以使用 inputdlg() 函數(shù)獲取用戶輸入的相對權(quán)重值，再根據(jù)這些值構(gòu)造相對重要性矩陣。

例如，假設(shè)需要評估三個因素 A、B 和 C 的相對重要性，可以使用如下代碼創(chuàng)建相對重要性矩陣：

%獲取用戶輸入的相對權(quán)重值
prompt={'A相對于B的重要性：','A相對于C的重要性：','B相對于C的重要性：'};
name='輸入相對重要性';
numlines=1;
defaultans={'','',''};
answer=inputdlg(prompt,name,numlines,defaultans);

%構(gòu)造相對重要性矩陣
A=[1str2double(answer{1})str2double(answer{2});
1/str2double(answer{1})1str2double(answer{3});
1/str2double(answer{2})1/str2double(answer{3})1];

計算權(quán)重向量

計算準(zhǔn)則/子準(zhǔn)則的權(quán)重向量 ，可以用 eig() 函數(shù)計算相對重要性矩陣 的特征向量和特征值，再將特征向量進行歸一化。

例如，使用如下代碼計算權(quán)重向量：

%計算特征向量和特征值
[eigvec,eigval]=eig(A);

%獲取最大特征值的索引
[~,max_eigval_index]=max(diag(eigval));

%獲取對應(yīng)的特征向量，并進行歸一化
w=eigvec(:,max_eigval_index);
w=w/sum(w);

檢驗一致性

計算一致性指標(biāo) 和隨機一致性比例 ，判斷評價結(jié)果的可靠性。通常，當(dāng) 時，可以認(rèn)為評價結(jié)果可靠。

例如，使用如下代碼進行一致性檢驗：

%計算一致性指標(biāo)
CI=(max(diag(eigval))-3)/(n-1);

%預(yù)先計算隨機一致性比例
RI=[000.580.91.121.241.321.411.451.51];

%計算隨機一致性比例
CR=CI/RI(n);

輸出結(jié)果

輸出準(zhǔn)則/子準(zhǔn)則的權(quán)重向量和一致性檢驗結(jié)果。例如，使用如下代碼輸出結(jié)果：

%輸出權(quán)重向量
fori=1:n
fprintf('%s的權(quán)重：%.4f
',criteria{i},w(i));
end

%輸出一致性檢驗結(jié)果
fprintf('一致性指標(biāo)CI=%.4f，隨機一致性比例CR=%.4f
',CI,CR);
ifCR<=?0.1
????fprintf('一致性檢驗通過，評價結(jié)果可靠。
');
else
????fprintf('一致性檢驗未通過，評價結(jié)果不可靠。
');
end

以上就是在 MATLAB 中實現(xiàn)層次分析法的主要步驟。需要注意的是，層次分析法的實現(xiàn)過程中需要進行矩陣運算和特征值計算等較為復(fù)雜的操作，建議使用函數(shù)封裝實現(xiàn)。

責(zé)任編輯：彭菁