在之前的格物匯文章中，我們介紹了特征抽取的經(jīng)典算法——主成分分析（PCA），了解了PCA算法實(shí)質(zhì)上是進(jìn)行了一次坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，盡可能讓數(shù)據(jù)映射在新坐標(biāo)軸方向上的方差盡可能大，并且讓原數(shù)據(jù)與新映射的數(shù)據(jù)在距離的變化上盡可能小。方差較大的方向代表數(shù)據(jù)含有的信息量較大，建議保留。方差較小的方向代表數(shù)據(jù)含有的信息量較少，建議舍棄。今天我們就來看一下PCA的具體應(yīng)用案例和特征映射的另一種方法：線性判別分析（LDA）。

PCA案例

在機(jī)器學(xué)習(xí)中，所使用的數(shù)據(jù)往往維數(shù)很大，我們需要使用降維的方法來突顯信息含量較大的數(shù)據(jù)，PCA就是一個(gè)很好的降維方法。下面我們來看一個(gè)具體的應(yīng)用案例，為了簡單起見，我們使用一個(gè)較小的數(shù)據(jù)集來展示：

顯而易見，我們數(shù)據(jù)有6維，維數(shù)雖然不是很多但不一定代表數(shù)據(jù)不可以降維。我們使用sklearn中的PCA算法擬合數(shù)據(jù)集得到如下的結(jié)果：

我們可以看到經(jīng)過PCA降維后依然生成了新的6個(gè)維度，但是數(shù)據(jù)映射在每一個(gè)維度上的方差大小不一樣。我們會(huì)對每一個(gè)維度上的方差進(jìn)行歸一化，每一個(gè)維度上的方差量我們稱為可解釋的方差量（Explained Variance）。由圖可知，每一個(gè)維度上可解釋方差占比為：0.4430，0.2638，0.1231，0.1012，0.0485，0.0204。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來說我們期望可解釋的方差量累計(jì)值在80%以上較好，因此我們可以選擇降維降到3維（82.99%）或者4維（93.11%），括號(hào)中的數(shù)字為累計(jì)可解釋的方差量，最后兩維方差解釋只有7%不到，建議舍去。圖中的柱狀圖表示原維度在新坐標(biāo)軸上的映射向量大小。在前兩維度上表現(xiàn)如下圖所示：

PCA雖然能實(shí)現(xiàn)很好的降維效果，但是它卻是一種無監(jiān)督的方法。實(shí)際上我們更加希望對于有類別標(biāo)簽的數(shù)據(jù)（有監(jiān)督），也能實(shí)現(xiàn)降維，并且降維后能更好的區(qū)分每一個(gè)類。此時(shí)，特征抽取的另一種經(jīng)典算法——線性判別分析（LDA）就閃亮登場了。

LDA簡介

LDA是一種監(jiān)督學(xué)習(xí)的降維技術(shù)，也就是說它的數(shù)據(jù)集的每個(gè)樣本是有類別輸出的。這點(diǎn)和PCA不同。PCA是不考慮樣本類別輸出的無監(jiān)督降維技術(shù)。LDA的思想可以用一句話概括，就是“投影后類內(nèi)方差最小，類間方差最大”。什么意思呢？ 我們要將數(shù)據(jù)在低維度上進(jìn)行投影，投影后希望每一種類別數(shù)據(jù)的投影點(diǎn)盡可能的接近，而不同類別的數(shù)據(jù)的類別中心之間的距離盡可能的大。

上圖中提供了兩種投影方式，哪一種能更好的滿足我們的標(biāo)準(zhǔn)呢？從直觀上可以看出，右圖要比左圖的投影效果好，因?yàn)橛覉D的黑色數(shù)據(jù)和藍(lán)色數(shù)據(jù)各個(gè)較為集中，且類別之間的距離明顯。左圖則在邊界處數(shù)據(jù)混雜。LDA的降維效果更像右圖，它能在新坐標(biāo)軸上優(yōu)先區(qū)分出兩個(gè)類別，它是如何實(shí)現(xiàn)的呢？

LDA的原理

LDA的主要思想是“投影后類內(nèi)方差最小，類間方差最大”。實(shí)質(zhì)上就是很好的區(qū)分出兩個(gè)類的分布。我們知道衡量數(shù)據(jù)分布的兩個(gè)重要指標(biāo)是均值和方差，對于每一個(gè)類，他們的定義如下：

與PCA一樣，LDA也是對數(shù)據(jù)的坐標(biāo)軸進(jìn)行一次旋轉(zhuǎn)，假設(shè)旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)移矩陣是w，那么新的旋轉(zhuǎn)數(shù)據(jù)可以表示為：

同理，兩個(gè)類別的中心點(diǎn)也轉(zhuǎn)換成了:

我們求解這個(gè)最優(yōu)化問題，即可求出轉(zhuǎn)移變換矩陣w,即LDA的最終結(jié)果。

PCA vs LDA

LDA用于降維，和PCA有很多相同，也有很多不同的地方，因此值得好好的比較一下兩者的降維異同點(diǎn)。首先我們看看相同點(diǎn)：

1、兩者均可以對數(shù)據(jù)進(jìn)行降維

2、兩者在降維時(shí)均使用了矩陣特征分解的思想

3、兩者都假設(shè)數(shù)據(jù)符合高斯分布

我們接著看看不同點(diǎn)：

1、LDA是有監(jiān)督的降維方法，而PCA是無監(jiān)督的降維方法

2、LDA降維最多降到類別數(shù)k-1的維數(shù)，而PCA沒有這個(gè)限制

3、LDA除了可以用于降維，還可以用于分類

4、LDA選擇分類性能最好的投影方向，而PCA選擇樣本點(diǎn)投影具有最大方差的方向

在某些數(shù)據(jù)分布下LDA比PCA降維較優(yōu)(左圖)，在某些數(shù)據(jù)分布下，PCA比LDA降維較優(yōu)。

好了，以上就是本期格物匯的內(nèi)容，我們下期見。

本文作者：格創(chuàng)東智 OT團(tuán)隊(duì)（轉(zhuǎn)載請注明作者及來源）