激活函數(shù)的選擇是構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡過程中的重要環(huán)節(jié)，下面簡要介紹常用的激活函數(shù)。

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以上3個激活函數(shù)都屬于線性函數(shù)，下面介紹兩個常用的非線性激活函數(shù)。

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S形函數(shù)與雙極S形函數(shù)的圖像如下：

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雙極S形函數(shù)與S形函數(shù)主要區(qū)別在于函數(shù)的值域，雙極S形函數(shù)值域是(?1,1)，而S形函數(shù)值域是(0,1)。

由于S形函數(shù)與雙極S形函數(shù)都是可導的(導函數(shù)是連續(xù)函數(shù))，因此適合用在BP神經(jīng)網(wǎng)絡中。（BP算法要求激活函數(shù)可導）

最簡單的神經(jīng)網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)——感知器

在1958年,美國心理學家Frank Rosenblatt提出一種具有單層計算單元的神經(jīng)網(wǎng)絡,稱為感知器(Perceptron)。它其實就是基于M-P模型的結(jié)構(gòu)。我們可以看看它的拓撲結(jié)構(gòu)圖。

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這個結(jié)構(gòu)非常簡單，如果你還記得前面所講的M-P神經(jīng)元的結(jié)構(gòu)的話，這個圖其實就是輸入輸出兩層神經(jīng)元之間的簡單連接（如果忘了可以看看第一話的模型示意圖）。

由第一話的(2)中我們知道輸入層各節(jié)點的輸入加權(quán)和

我們一般采用符號函數(shù)來當作單層感知器的傳遞函數(shù)，即輸出

公式(2)可以進一步表達為：

單層感知器的局限性

雖然單層感知器簡單而優(yōu)雅，但它顯然不夠聰明——它僅對線性問題具有分類能力。什么是線性問題呢？簡單來講，就是用一條直線可分的圖形。比如，邏輯“與”和邏輯“或”就是線性問題，我們可以用一條直線來分隔0和1。

1）邏輯“與”的真值表和二維樣本圖如圖2：

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2）邏輯“或”的真值表如圖3：

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為什么感知器就可以解決線性問題呢？這是由它的傳遞函數(shù)決定的。這里以兩個輸入分量 x1 和 x2 組成的二維空間為例，此時節(jié)點 j 的輸出為

所以，方程

確定的直線就是二維輸入樣本空間上的一條分界線。對于三維及更高維數(shù)的推導過程可以參考其他的Tutorials。
如果要讓它來處理非線性的問題，單層感知器網(wǎng)就無能為力了。例如下面的“異或”，就無法用一條直線來分割開來，因此單層感知器網(wǎng)就沒辦法實現(xiàn)“異或”的功能。

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多層感知器的瓶頸

既然一條直線無法解決分類問題，當然就會有人想到用彎曲的折線來進行樣本分類。我們常常聽到一句批評人笨的話“你這人腦袋就是不會轉(zhuǎn)彎！”大意就是如此，腦袋會轉(zhuǎn)彎的人才善于解決問題。所以，人們請來了單層感知器他哥——多層感知器來幫忙。所謂多層感知器，就是在輸入層和輸出層之間加入隱層，，以形成能夠?qū)颖菊_分類的凸域。多層感知器的拓撲結(jié)構(gòu)如下圖所示。

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我們可以比較一下單層感知器和多層感知器的分類能力：

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由上圖可以看出，隨著隱層層數(shù)的增多，凸域?qū)⒖梢孕纬扇我獾男螤?，因此可以解決任何復雜的分類問題。實際上，Kolmogorov理論指出：雙隱層感知器就足以解決任何復雜的分類問題。

多層感知器確實是非常理想的分類器，但問題也隨之而來：隱層的權(quán)值怎么訓練？對于各隱層的節(jié)點來說，它們并不存在期望輸出，所以也無法通過感知器的學習規(guī)則來訓練多層感知器。因此，多層感知器心有余而力不足，雖然武功高強，但卻無力可施。

ANN的低潮期

1966年，Minisky和Papert在他們的《感知器》一書中提出了上述的感知器的研究瓶頸，指出理論上還不能證明將感知器模型擴展到多層網(wǎng)絡是有意義的。這在人工神經(jīng)網(wǎng)絡的歷史上書寫了極其灰暗的一章。對ANN的研究，始于1890年開始于美國著名心理學家W.James對于人腦結(jié)構(gòu)與功能的研究，半個世紀后W.S.McCulloch和W.A.Pitts提出了M-P模型，之后的1958年Frank Rosenblatt在這個基礎(chǔ)上又提出了感知器，此時對ANN的研究正處在升溫階段，《感知器》這本書的出現(xiàn)就剛好為這剛剛?cè)计鸬娜斯ど窠?jīng)網(wǎng)絡之火潑了一大盆冷水。一時間人們仿佛感覺對以感知器為基礎(chǔ)的ANN的研究突然間走到盡頭，看不到出路了。于是，幾乎所有為ANN提供的研究基金都枯竭了，很多領(lǐng)域的專家紛紛放棄了這方面課題的研究。

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ANN研究的復蘇和BP神經(jīng)網(wǎng)絡的誕生

所以說真理的果實總是垂青于能夠忍受寂寞的科學家。盡管ANN的研究陷入了前所未有的低谷， 但仍有為數(shù)不多的學者忍受住寂寞，堅持致力于ANN的研究。在長達10年的低潮時期之間，相 繼有一些開創(chuàng)性的研究成果被提出來，但還不足以激起人們對于ANN研究的熱情。一直到上世 紀80年代，兩個璀璨的成果誕生了：1982年美國加州理工學院的物理學家John J.Hopfield博 士的Hopfield網(wǎng)絡和David E.Rumelhart以及James L.McCelland研究小組發(fā)表的《并行分布 式處理》。這兩個成果重新激起了人們對ANN的研究興趣，使人們對模仿腦信息處理的智能計 算機的研究重新充滿了希望。

前者暫不討論，后者對具有非線性連續(xù)變換函數(shù)的多層感知器的誤差反向傳播(Error Back Propagation)算法進行了詳盡的分析，實現(xiàn)了 Minsky 關(guān)于多層網(wǎng)絡的設(shè)想。Error Back Propagation算法的簡稱就是BP算法，以BP算法實現(xiàn)的多層感知器網(wǎng)絡就是BP網(wǎng)絡。

所以，BP網(wǎng)絡本質(zhì)上并不是一個新的網(wǎng)絡，而是使用BP學習算法的多層感知器網(wǎng)絡。