對(duì)于金融專業(yè)人士和技術(shù)分析師來說，估算一家公司的真實(shí)市場(chǎng)價(jià)值非常具有挑戰(zhàn)性。為了解一家公司的真實(shí)價(jià)值如何在市場(chǎng)大幅波動(dòng)時(shí)期受到影響，英格蘭銀行的研究人員對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了調(diào)研。

公司資產(chǎn)受到利潤(rùn)流和風(fēng)險(xiǎn)敞口等不確定性因素影響。同樣，違約風(fēng)險(xiǎn)取決于未來不確定的公司資產(chǎn)價(jià)值和對(duì)應(yīng)的償債義務(wù)。通常使用數(shù)學(xué)模型（如 Black Scholes/Merton）來估算市場(chǎng)價(jià)值，這些數(shù)學(xué)模型基于公開但有限的公司信息，如公司的市值、公司債務(wù)的面值和無風(fēng)險(xiǎn)利率。

金融危機(jī)暴露了這些方法的缺陷。

缺陷之一是這些模型不能將在觀測(cè)的時(shí)間序列中相對(duì)罕見但極端的運(yùn)動(dòng)（或跳躍）考慮進(jìn)去。我們通常只是偶爾觀察到跳躍，但跳躍經(jīng)常發(fā)生在金融危機(jī)或其他市場(chǎng)的不確定性時(shí)期。例如，圖 1 中的圖表顯示了 2007 年上半年英國(guó)一家大銀行的市值，并顯示了多次不同幅度的跳躍（向上和向下）。

圖1. 2007年上半年英國(guó)一家大銀行的市場(chǎng)資本總額。

評(píng)估跳躍對(duì)市場(chǎng)價(jià)值影響的方法之一，就是使用跳躍—擴(kuò)散模型。

這是兩個(gè)隨機(jī)過程的組合，其中一個(gè)過程是對(duì)序列的常規(guī)行為進(jìn)行建模，另一個(gè)過程是對(duì)隨機(jī)發(fā)生的跳躍進(jìn)行建模。本文描述的工作流程，運(yùn)用MATLAB、Statistics andMachine Learning Toolbox（數(shù)理統(tǒng)計(jì)和機(jī)器學(xué)習(xí)工具箱）以及 Signal Processing Toolbox（信號(hào)處理工具箱），基于公開的市場(chǎng)數(shù)據(jù)，估算企業(yè)隱藏市場(chǎng)價(jià)值的跳躍—擴(kuò)散模型參數(shù)。由此產(chǎn)生的模型可用于推導(dǎo)其他相關(guān)數(shù)據(jù)，如違約概率和利差。

創(chuàng)建跳躍—擴(kuò)散模型

跳躍—擴(kuò)散模型是基于標(biāo)準(zhǔn)幾何布朗運(yùn)動(dòng)（GBM）的擴(kuò)散模型。

幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型有兩個(gè)參數(shù)：漂移（平均趨勢(shì)）和擴(kuò)散（波動(dòng)）。這些參數(shù)可用來為根據(jù)既定價(jià)格 Pt 所得出的連續(xù)復(fù)合（對(duì)數(shù)）回報(bào)率 Rt 的分布進(jìn)行建模：

其中 ?t 為時(shí)間增量，μ 為漂移參數(shù)，σ 為擴(kuò)散參數(shù)。這個(gè)模型假設(shè)回報(bào)率的對(duì)數(shù)是服從正態(tài)分布的，該正態(tài)分布的，期望值為，方差為。

我們的跳躍—擴(kuò)散模型在幾何布朗運(yùn)動(dòng)（GBM）模型的基礎(chǔ)上引入了隨機(jī)跳躍。跳躍 Jk 是一個(gè) i.i.d.. 對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量序列：。使用到達(dá)率為 λ 的泊松過程 Nt 對(duì)跳躍的到達(dá)進(jìn)行建模?；貓?bào)率可用如下的動(dòng)態(tài)模型表述為：

其中 Wt 是一個(gè)維納過程。為了對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值估算，我們將時(shí)間 t 這個(gè)連續(xù)變量進(jìn)行離散化，每次跳躍的時(shí)間間隔為 [t,t+?t]。我們假設(shè)時(shí)間增量 ?t 足夠小，使得在 [t,t+?t] 中出現(xiàn)一次以上跳躍的概率可以忽略不計(jì)。

與所有繁復(fù)的數(shù)學(xué)模型一樣，跳躍擴(kuò)散模型也在計(jì)算上存在一些挑戰(zhàn)（例如：實(shí)現(xiàn)收斂），需要對(duì)優(yōu)化過程進(jìn)行仔細(xì)分析。利用 MATLAB，我們可以：用最少的代碼來直觀地表示方程；估算魯棒性/穩(wěn)健性高的模型參數(shù)；跟蹤優(yōu)化過程的收斂。

估算模型參數(shù)

有五個(gè)模型參數(shù)需要估算：

μ – 幾何布朗運(yùn)動(dòng)（GBM）的漂移

σ – 幾何布朗運(yùn)動(dòng)（GBM）的擴(kuò)散

λ – 泊松過程中跳躍的到達(dá)率

μj – 跳躍幅度的對(duì)數(shù)正態(tài)位置參數(shù)

σj – 跳躍幅度的對(duì)數(shù)正態(tài)規(guī)模參數(shù)

根據(jù)可用時(shí)間序列數(shù)據(jù)，我們可以直接估算后三個(gè)參數(shù)（假定觀察到的歷史市值能夠體現(xiàn)公司真實(shí)市場(chǎng)價(jià)值的特征）。我們可以使用 Signal Processing Toolbox（信號(hào)處理工具箱）中的 findchangepts函數(shù)自動(dòng)識(shí)別序列中發(fā)生突變的點(diǎn)（圖 2）。在金融時(shí)間序列中，當(dāng)序列的平均值或標(biāo)準(zhǔn)差發(fā)生顯著變化時(shí)，我們可以認(rèn)為將發(fā)生結(jié)構(gòu)變化。在研究金融危機(jī)時(shí)期或其他高波動(dòng)時(shí)期時(shí)，找出標(biāo)準(zhǔn)差變化的點(diǎn)尤為重要。

圖2. 平均值突變的點(diǎn)。

估算基于 BlackScholes/Merton 模型，其中 μ 是 σ 的函數(shù)。為了進(jìn)行優(yōu)化，我們使用 Statistics and Machine Learning Toolbox（統(tǒng)計(jì)和機(jī)器學(xué)習(xí)工具箱）中的 mle函數(shù)進(jìn)行最大似然估算，指定負(fù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)（negative log-likelihood function）和參數(shù)的區(qū)間范圍作為函數(shù)的輸入。似然函數(shù)的值最終由唯一的未知參數(shù) σ 決定。由于市場(chǎng)價(jià)值不可觀測(cè)，因此我們首先用觀測(cè)到的市值的歷史數(shù)據(jù)對(duì)跳躍擴(kuò)散模型進(jìn)行擬合到，并對(duì)市場(chǎng)價(jià)值序列生成一個(gè)初始估算。我們利用這個(gè)初始估算，對(duì)這個(gè)過程進(jìn)行反復(fù)，直到參數(shù)值穩(wěn)定為止。

在隱含市場(chǎng)價(jià)值和債務(wù)的模型中，公司的價(jià)值分為屬于股東的資產(chǎn)和屬于債權(quán)人的資產(chǎn)。當(dāng)債務(wù)到期時(shí)，如果資產(chǎn)足以償還債務(wù)，則除去債務(wù)后的剩余價(jià)值將歸股東所有。否則股東一無所獲。

債務(wù)價(jià)值相當(dāng)于持有的無風(fēng)險(xiǎn)債務(wù)加上賣出對(duì)資產(chǎn)價(jià)值的看跌期權(quán)：如果資產(chǎn)足以清償債務(wù)，那么債權(quán)人將獲得足額的償還。如果資產(chǎn)不足以清償債務(wù)，那么債權(quán)人將獲得全部資產(chǎn)。債務(wù)不能全部得到清償?shù)那闆r被視為風(fēng)險(xiǎn)。債權(quán)人以高于無風(fēng)險(xiǎn)利率的信貸利差作為持有風(fēng)險(xiǎn)債務(wù)的回報(bào)，該利差可以看作是看跌式期權(quán)的價(jià)值。

資產(chǎn)價(jià)值滿足一個(gè)包括公司市值和風(fēng)險(xiǎn)債務(wù)價(jià)值的隱式方程，而風(fēng)險(xiǎn)債務(wù)的價(jià)值又是資產(chǎn)價(jià)值和其他變量（如無風(fēng)險(xiǎn)利率）的函數(shù)。在最大似然估計(jì)過程中，我們使用 MATLAB 中的 fzero 函數(shù)來求解資產(chǎn)價(jià)值的隱式方程。收斂后，我們?cè)诳赡艿慕恻c(diǎn)的鄰域中繪制負(fù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)，來驗(yàn)證局部最小點(diǎn)是由 mle 函數(shù)確定的（圖 3）。

圖3. 解點(diǎn)周圍一個(gè)小鄰域中的對(duì)數(shù)似然曲線。

推算市場(chǎng)價(jià)值

在擬合模型之后，我們可以用它來推算資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)值和相關(guān)數(shù)據(jù)，如資產(chǎn)的隱含看跌期權(quán)價(jià)值和資產(chǎn)的杠桿率。圖 4 所示的就是這些數(shù)據(jù)的時(shí)間序列。

不出所料，我們看到，公司的市值和推算出的市場(chǎng)價(jià)值下降時(shí)，看跌期權(quán)的價(jià)值迅速增加。杠桿率作為衡量市場(chǎng)價(jià)值與債務(wù)比率的指標(biāo)，也隨著資產(chǎn)價(jià)值的下跌而增加。

圖4. 從跳躍—擴(kuò)散模型推算出的相關(guān)數(shù)據(jù)。

在開發(fā)并實(shí)現(xiàn)一個(gè)跳躍擴(kuò)散模型參數(shù)的估算過程之后，我們使用 MATLAB Live Editor （MATLAB 實(shí)時(shí)編輯器）將結(jié)果作為實(shí)時(shí)腳本與同事共享。以上流程可以應(yīng)用于不同資產(chǎn)類別的各種時(shí)間序列數(shù)據(jù)。由于許多金融數(shù)據(jù)在金融危機(jī)時(shí)期和市場(chǎng)高度不確定時(shí)期都會(huì)出現(xiàn)跳躍，因此其潛在應(yīng)用范圍很廣。

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