考量運(yùn)算放大器在Type-2補(bǔ)償器中的動(dòng)態(tài)響應(yīng)（第二篇）

03

FACT應(yīng)用于Type-2補(bǔ)償器

為高效地將FACT運(yùn)用到Type-2補(bǔ)償器，我們先考慮儲(chǔ)能元件C1和C2。考慮到它們的獨(dú)立狀態(tài)可變—如它們不是串聯(lián)或并聯(lián)--這是個(gè)二階系統(tǒng)?？紤]非零準(zhǔn)靜態(tài)增益，該系統(tǒng)可表示為：

（11）

對(duì)于二階系統(tǒng)，我們可證明分母遵循下列公式：

（12）

系數(shù)s僅是確定零點(diǎn)激勵(lì)的時(shí)間常數(shù)之和。S2系數(shù)稍復(fù)雜，因其引入新符號(hào)。此符號(hào)意味著您“想象”的C2兩端的阻抗，而C1由短路取代。乍一看有點(diǎn)難以理解，但我們稍解釋就會(huì)明白。 按求解圖2電路的途徑，我們可研究s=0的系統(tǒng)(圖7)。在分析的過程中，Vref是個(gè)完美的源及其動(dòng)態(tài)響應(yīng)為0（忽略我們應(yīng)用的調(diào)制，其電壓是固定的）。因此，它自然不存在于小信號(hào)電路，在交流分析中為短路的形式。

圖7：在直流條件下，斷開所有的電容：運(yùn)放運(yùn)行于開環(huán)配置。

運(yùn)放提供的電壓相當(dāng)于開環(huán)增益AOL的e倍。反相引腳的電壓與低邊阻抗Rlower有關(guān)，這時(shí)e是個(gè)非零的值：

（13）

此電路有兩個(gè)電容，因此有兩個(gè)單獨(dú)的時(shí)間常數(shù)。為確定與C2有關(guān)的第一個(gè)時(shí)間常數(shù)，我們將激勵(lì)信號(hào)設(shè)為0，確定C2的阻抗，C2連接端子，而C1從電路中移除。 為確定由C2端提供的阻抗，我們可連接測(cè)試生成器IT，和確定其兩端的電壓VT。然后VT/IT會(huì)提供我們想要的阻抗?？蓪懙牡谝粋€(gè)簡(jiǎn)單的等式與e有關(guān)。運(yùn)放的輸入引腳之間的電壓是：

（14）

運(yùn)放的輸出為：

（15）

將(14)代入(15)得出：

（16）

VT是電流源的電壓：

（17）

若從（17）提取VFB，結(jié)合（16）的結(jié)果，我們有：

（18）

阻抗是：

（19）

因此第一個(gè)時(shí)間常數(shù)t2表示為：

（20）

第二個(gè)時(shí)間常數(shù)與C1有關(guān)(圖8)。我們未安裝電流發(fā)生器，因?yàn)榻Y(jié)果很明顯：C1兩端的電阻就是已確定的C2與R2串聯(lián)后的電阻：

（21）

圖8：立即確定第二個(gè)時(shí)間常數(shù)，因?yàn)樗荂2與R2串聯(lián)的驅(qū)動(dòng)電阻。

我們有兩個(gè)時(shí)間常數(shù)，可進(jìn)行第二階項(xiàng)。我們需要評(píng)估，其中C2由短路代替，我們看C1端的電阻。既然我們?cè)谏婕癛2的回路中有弗蘭克短路，那么電阻R就是R2：

（22）

因此，若我們根據(jù)（12）組合時(shí)間常數(shù)，得出分母D(s) ：

（23）

這二階形式可重新排列，假設(shè)質(zhì)量因子Q遠(yuǎn)小于1。此時(shí)兩個(gè)極點(diǎn)完全分離：一個(gè)控制低頻，而第二個(gè)位于頻譜的上部。由（12）我們可證明，兩個(gè)極點(diǎn)定義為：

（24）

（25）

若我們將這些定義應(yīng)用到（23），簡(jiǎn)化和重新排列，得到：

（26）

（27）

若我們想象使C1或C2或C1和C2短路，這三個(gè)配置有響應(yīng)嗎？若C1短路，我們有一個(gè)含R2和其他電阻的簡(jiǎn)單的逆變器：有個(gè)與C1有關(guān)的零點(diǎn)。若C2短路，則運(yùn)放為0：C2沒有零點(diǎn)。若兩個(gè)電容器都短路，當(dāng)然，沒有響應(yīng)。若C1和R2短路，那么響應(yīng)消失(圖9)：

（28）

然后

（29）

圖9：若R2與C1的串連轉(zhuǎn)換為短路，那是沒信號(hào)的響應(yīng)：這就解釋了零點(diǎn)是如何產(chǎn)生的。

其中給出了零點(diǎn)位于：

（30）

現(xiàn)在有最終的傳遞函數(shù)

（31）

及

（32）

（33）

（34）

（35）

04

比較電路之間的響應(yīng)

現(xiàn)在比較由type-2電路(其中我們考慮開環(huán)增益)帶來(lái)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)是有意義的， type 2完美的傳遞函數(shù)為：

（36）

其中

（37）

（38）

（39）

舉例說明，我們對(duì)比理想的運(yùn)放和開環(huán)增益為50dB的運(yùn)放（例如TL431），此時(shí)補(bǔ)償器必須滿足以下目標(biāo)：fc=10kHz和在此頻率的增益補(bǔ)償20dB，相位提升必須是65°。R1和Rlower計(jì)算用于12V輸出和2.5V參考電壓。（31）和（36）的兩個(gè)動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖10。交越增益和相位升壓的偏差可忽略不計(jì)。 然而，在120赫茲頻率時(shí)（31）的增益為35dB，（36）則為45dB。最后，有限的AOL的準(zhǔn)靜態(tài)增益僅36.4dB（?66），而無(wú)限時(shí)則為完美的運(yùn)放。增益少兩倍時(shí)，電源頻率將影響控制系統(tǒng)的能力，抑制整流紋波。輸出變量可能會(huì)受到此元件的影響，特別是在電壓模式控制下。此外，若植入增益低，控制變量可能有顯著的靜態(tài)誤差。若您現(xiàn)在選擇具有更高AOL的運(yùn)放如80dB，偏差消失，兩曲線相互非常接近。

圖10：在type 2的波特圖中，我們認(rèn)為開環(huán)增益AOL和低邊電阻Rlower并沒有太大影響原完美的方程式。

05

總結(jié)

本文的前兩篇，介紹一個(gè)補(bǔ)償器采用一個(gè)非理想運(yùn)放時(shí)開環(huán)增益的影響。假如運(yùn)放不是完美的，您可看到動(dòng)態(tài)響應(yīng)中在低頻范圍內(nèi)弱開環(huán)增益的影響，來(lái)評(píng)估這種情況導(dǎo)致的性能下降。