一、簡介

特性阻抗可以說是分布式參數(shù)電路中最重要的電氣參數(shù)，但它也是容易使剛接觸射頻電路的人感到困惑的話題。由于它的名字里有阻抗二字，暗示著它在量綱上等于電壓和電流的比值，但是它和集總參數(shù)阻抗必然是不同的，那么傳輸線的特性阻抗和集總參數(shù)阻抗究竟有什么聯(lián)系和區(qū)別？我們來一起探討，一一解答。

二、傳輸線的即時(shí)阻抗

這里我們討論的傳輸線是由兩個具有一定長度的導(dǎo)體構(gòu)成的。為了便于突出問題的重點(diǎn)，以下討論中的傳輸線均是理想無損耗的。 如圖1所示，假設(shè)我們在向右無限延伸的傳輸線左側(cè)接一個理想恒壓源，并且在t=0的時(shí)候?qū)㈤_關(guān)從斷開轉(zhuǎn)換到閉合狀態(tài)，那么傳輸線開始感受到電源的“壓力”。任何事情都不是一蹴而就的，沿著傳輸線長度的方向并不是所有的位置都立刻建立起了電勢差，電勢差的建立需要一個電壓傳播的過程，而傳播的速度是光速。

圖1 一端外加電源的傳輸線電路 在開關(guān)閉合后的某時(shí)刻，沿傳輸線方向的電勢差分布如圖2所示。在靠近電源的傳輸線部分已經(jīng)建立起電勢差，維持電勢差需要在傳輸線的上導(dǎo)體積累正電荷，在下導(dǎo)體積累負(fù)電荷。每經(jīng)過一段時(shí)間，電壓波會沿著傳輸線方向推進(jìn)，而電壓波波前的下一段傳輸線即將在兩個導(dǎo)體之間建立電勢差。使原本沒有電勢差的傳輸線部分建立電勢差需要提供額外的正負(fù)電荷，搬運(yùn)正負(fù)電荷的工作是由電源來完成的，這個過程是一個給電容充電的過程。

圖2 某時(shí)刻電壓波沿傳輸線的傳播情況 在均勻傳輸線中，電壓波傳播的速度是恒定的，即相同時(shí)間內(nèi)一定長度的傳輸線會被充電，由于橫截面均勻，同一長度傳輸線對應(yīng)的電容大小也是相同的，因此需要的電荷量是固定的。我們可以認(rèn)為，在δt這一小段時(shí)間內(nèi)，由δQ的負(fù)電荷（電子）被從傳輸線上導(dǎo)體的某一段轉(zhuǎn)移到下導(dǎo)體對應(yīng)的位置上，從而建立起該段傳輸線的電勢差。對于電源而言，需要持續(xù)輸出電流I=δQ/δt，因此在電源看來，這條傳輸線和一個負(fù)載電阻沒有區(qū)別，這個負(fù)載電阻的大小就等于傳輸線的特性阻抗。如果傳輸線的橫截面是非均勻的，那么隨著電壓波的傳播，不同時(shí)刻電源輸出電流的大小是變化的，即從電源所在的端口向傳輸線看去，看到的阻抗是隨時(shí)間變化而改變的，因此這個阻抗被稱為即時(shí)阻抗（instantaneous impedance）。即時(shí)阻抗等于即將被充電的那一段傳輸線的特性阻抗。

三、均勻傳輸線即時(shí)阻抗的推導(dǎo)

假設(shè)圖1中施加的恒壓源電壓為V，電壓波在傳播的過程中，傳輸線上建立起來的電勢差等于恒壓源電壓V。假設(shè)單位長度的傳輸線的等效電容為C，而電壓波在傳輸線中傳播的速度為v，那么在一小段時(shí)間δt內(nèi)，電壓波傳播的距離為，新充電的電容大小為，電源提供的電荷量為 δQ=Cvδt?V 那么電壓源持續(xù)輸出的電流大小為 I=δQ/δt=Cv?V 而即時(shí)阻抗為 Z=V/I=1/(Cv) 公式(1)

圖3 經(jīng)典的傳輸線電路模型 另一方面，經(jīng)典的傳輸線方程是建立在圖3所示的傳輸線電路模型基礎(chǔ)上的，通過電報(bào)方程，我們可以推導(dǎo)出傳輸線的傳播常數(shù) 以及特性阻抗 在無損耗傳輸線中R= 0 Ω，G= 0 S。電壓波的傳播速度可以由γ推出： 因此有特性阻抗 公式(2) 比較（1）和（2）我們可以看出，即時(shí)阻抗和傳輸線特性阻抗大小是相等的。 如果圖1中是一條無限長均勻傳輸線，它將永遠(yuǎn)在充電的過程當(dāng)中，因?yàn)殡妷翰ㄓ肋h(yuǎn)在前進(jìn)狀態(tài)。如果無限長均勻傳輸線的特性阻抗為Z0，那么它在電路中就可以被等效為一個大小為Z0的集總參數(shù)阻抗。

四、傳輸線電路的時(shí)域分析

在上一小節(jié)我們了解到傳輸線的即時(shí)阻抗等于特性阻抗，我們可以利用這個規(guī)律對圖4所示的傳輸線電路時(shí)域響應(yīng)進(jìn)行分析。這個電路包含一段長度為l，特性阻抗為R0的無損耗均勻傳輸線，在傳輸線坐標(biāo)z = 0的一端連接著一個內(nèi)阻為RS的直流電壓源V0，在另一端連接負(fù)載RL，在t = 0的時(shí)候開關(guān)閉合，我們將分析在此之后的傳輸線電壓分布情況。

圖4 進(jìn)行時(shí)域響應(yīng)分析的傳輸線電路 在上一小節(jié)的分析中，我們知道電壓波在傳輸線上的傳播速度是有限的，即 , 在電壓波到達(dá)負(fù)載電阻之前，電壓波并不清楚電路前方是什么情況，它所感知到的是大小為R0的即時(shí)負(fù)載，因此這段時(shí)間內(nèi)傳輸線上靠近電源一端的電勢差可以通過串聯(lián)分壓求得： 與此同時(shí)，電壓源持續(xù)輸出的電流大小為 這個狀態(tài)一直持續(xù)到電壓波到達(dá)傳輸線最右端，到達(dá)最右端的時(shí)間為 此時(shí)電壓波發(fā)現(xiàn)了新大陸，負(fù)載電阻RL≠R0。為了使負(fù)載電阻RL兩端的電壓電流滿足歐姆定律，會產(chǎn)生沿著-z方向傳播的反射電壓波當(dāng)反射電壓波在t= 2T時(shí)到達(dá)最左端，又會產(chǎn)生一個沿著+z方向傳播的反射波之后電壓波在源和負(fù)載之間不斷地來回反射，隨著時(shí)間的推移，最后負(fù)載電阻兩端的電壓趨向于將V1+，ΓL以及ΓS的表達(dá)式帶入上式進(jìn)行化簡，可以得到VL的簡化表達(dá)式 最后的表達(dá)式是意料之中的，因?yàn)閳D4的電壓源為直流源，此時(shí)按照經(jīng)典低頻電路的看法，傳輸線是透明的，圖4的電路就是一個負(fù)載電阻和電壓源內(nèi)阻的分壓電路。 從上述分析可以看到，開關(guān)剛閉合的時(shí)候，電路是在RS和R0之間進(jìn)行分壓；達(dá)到穩(wěn)態(tài)以后，是RS和RL之間進(jìn)行分壓，最后無論傳輸線特性阻抗R0是多少，都不影響VL的值。

參考文獻(xiàn)

[1]

R. J. Cameron, C. M.Kudsia, and R. R. Mansour, MicrowaveFilters for Communication Systems: Fundamentals, Design and Applications, 2nded. Hoboken, NJ, USA: Wiley, 2018.

[2]

A. E. Atia and A. E. Williams, “A solutionfornarrow-band coupled cavities,” COMSAT Laboratories Tech. Memo. CL-39-70, 1970.