知識蒸餾的核心思想是通過遷移知識，從而通過訓(xùn)練好的大模型得到更加適合推理的小模型。本文作者介紹了知識蒸餾的全過程，以及引用Hinton等人的實(shí)驗(yàn)結(jié)果解釋說明，并提出了知識蒸餾的一些延伸工作方向。

0. 寫在前面

有人說過：“神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用剩的logits不要扔，沾上雞蛋液，裹上面包糠...” 這兩天對知識蒸餾(Knowledge Distillation)萌生了一點(diǎn)興趣，正好寫一篇文章分享一下。這篇文章姑且算是一篇小科普。

1. 從模型壓縮開始

各種模型算法，最終目的都是要為某個(gè)應(yīng)用服務(wù)。在買賣中，我們需要控制收入和支出。類似地，在工業(yè)應(yīng)用中，除了要求模型要有好的預(yù)測(收入)以外，往往還希望它的「支出」要足夠小。具體來說，我們一般希望部署到應(yīng)用中的模型使用較少的計(jì)算資源(存儲(chǔ)空間、計(jì)算單元等)，產(chǎn)生較低的時(shí)延。

在深度學(xué)習(xí)的背景下，為了達(dá)到更好的預(yù)測，常常會(huì)有兩種方案：1. 使用過參數(shù)化的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，這類網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)能力非常強(qiáng)，因此往往加上一定的正則化策略(如dropout)；2. 集成模型(ensemble)，將許多弱的模型集成起來，往往可以實(shí)現(xiàn)較好的預(yù)測。這兩種方案無疑都有較大的「支出」，需要的計(jì)算量和計(jì)算資源很大，對部署非常不利。這也就是模型壓縮的動(dòng)機(jī)：我們希望有一個(gè)規(guī)模較小的模型，能達(dá)到和大模型一樣或相當(dāng)?shù)慕Y(jié)果。當(dāng)然，從頭訓(xùn)練一個(gè)小模型，從經(jīng)驗(yàn)上看是很難達(dá)到上述效果的，也許我們能先訓(xùn)練一個(gè)大而強(qiáng)的模型，然后將其包含的知識轉(zhuǎn)移給小的模型呢？如何做到呢？

* 下文統(tǒng)一將要訓(xùn)練的小模型稱為新模型，將以及訓(xùn)練的大模型稱為原模型。

Rich Caruana等人在[1]中指出，可以讓新模型近似(approximate)原模型(模型即函數(shù))。注意到，在機(jī)器學(xué)習(xí)中，我們常常假定輸入到輸出有一個(gè)潛在的函數(shù)關(guān)系，這個(gè)函數(shù)是未知的：從頭學(xué)習(xí)一個(gè)新模型就是從有限的數(shù)據(jù)中近似一個(gè)未知的函數(shù)。如果讓新模型近似原模型，因?yàn)樵Ｐ偷暮瘮?shù)是已知的，我們可以使用很多非訓(xùn)練集內(nèi)的偽數(shù)據(jù)來訓(xùn)練新模型，這顯然要更可行。

這樣，原來我們需要讓新模型的softmax分布與真實(shí)標(biāo)簽匹配，現(xiàn)在只需要讓新模型與原模型在給定輸入下的softmax分布匹配了。直觀來看，后者比前者具有這樣一個(gè)優(yōu)勢：經(jīng)過訓(xùn)練后的原模型，其softmax分布包含有一定的知識——真實(shí)標(biāo)簽只能告訴我們，某個(gè)圖像樣本是一輛寶馬，不是一輛垃圾車，也不是一顆蘿卜；而經(jīng)過訓(xùn)練的softmax可能會(huì)告訴我們，它最可能是一輛寶馬，不大可能是一輛垃圾車，但絕不可能是一顆蘿卜[2]。

2. 為什么叫「蒸餾」？

接續(xù)前面的討論，我們的目標(biāo)是讓新模型與原模型的softmax輸出的分布充分接近。直接這樣做是有問題的：在一般的softmax函數(shù)中，自然指數(shù) 先拉大logits之間的差距，然后作歸一化，最終得到的分布是一個(gè)arg max的近似 (參考我之前的文章：淺談Softmax函數(shù))，其輸出是一個(gè)接近one-hot的向量，其中一個(gè)值很大，其他的都很小。這種情況下，前面說到的「可能是垃圾車，但絕不是蘿卜」這種知識的體現(xiàn)是非常有限的。相較類似one-hot這樣的硬性輸出，我們更希望輸出更「軟」一些。

一種方法是直接比較logits來避免這個(gè)問題。具體地，對于每一條數(shù)據(jù)，記原模型產(chǎn)生的某個(gè)logits是 ，新模型產(chǎn)生的logits是 ，我們需要最小化

文獻(xiàn)[2]提出了更通用的一種做法?？紤]一個(gè)廣義的softmax函數(shù)

其中 是溫度，這是從統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的玻爾茲曼分布中借用的概念。容易證明，當(dāng)溫度 趨向于0時(shí)，softmax輸出將收斂為一個(gè)one-hot向量（證明可以參考我之前的文章：淺談Softmax函數(shù)，將 替換為 即可)；溫度 趨向于無窮時(shí)，softmax的輸出則更「軟」。因此，在訓(xùn)練新模型的時(shí)候，可以使用較高的 使得softmax產(chǎn)生的分布足夠軟，這時(shí)讓新模型的softmax輸出近似原模型；在訓(xùn)練結(jié)束以后再使用正常的溫度 來預(yù)測。具體地，在訓(xùn)練時(shí)我們需要最小化兩個(gè)分布的交叉熵(Cross-entropy)，記新模型利用公式 產(chǎn)生的分布是 ，原模型產(chǎn)生的分布是 ，則我們需要最小化

在化學(xué)中，蒸餾是一個(gè)有效的分離沸點(diǎn)不同的組分的方法，大致步驟是先升溫使低沸點(diǎn)的組分汽化，然后降溫冷凝，達(dá)到分離出目標(biāo)物質(zhì)的目的。在前面提到的這個(gè)過程中，我們先讓溫度升高，然后在測試階段恢復(fù)「低溫」，從而將原模型中的知識提取出來，因此將其稱為是蒸餾，實(shí)在是妙。

當(dāng)然，如果轉(zhuǎn)移時(shí)使用的是有標(biāo)簽的數(shù)據(jù)，那么也可以將標(biāo)簽與新模型softmax分布的交叉熵加入到損失函數(shù)中去。這里需要將式 乘上一個(gè) ，這是為了讓損失函數(shù)的兩項(xiàng)的梯度大致在一個(gè)數(shù)量級上(參考公式 )，實(shí)驗(yàn)表明這將大大改善新模型的表現(xiàn)(考慮到加入了更多的監(jiān)督信號)。

3. 與直接優(yōu)化logits差異相比

由公式 ，對于交叉熵?fù)p失來說，其對于新模型的某個(gè)logit 的梯度是

由于 與 是等價(jià)無窮小(時(shí)**)**，易知，當(dāng) 充分大時(shí)，有

假設(shè)所有l(wèi)ogits對每個(gè)樣本都是零均值化的，即 ，則有

所以，如果：1. 非常大，2. logits對所有樣本都是零均值化的，則知識蒸餾和最小化logits的平方差(公式 )是等價(jià)的(因?yàn)樘荻却笾率峭粋€(gè)形式)。實(shí)驗(yàn)表明，溫度 不能取太大，而應(yīng)該使用某個(gè)適中的值，這表明忽略極負(fù)的logits對新模型的表現(xiàn)很有幫助(較低的溫度產(chǎn)生的分布比較「硬」，傾向于忽略logits中極小的負(fù)值)。

4. 實(shí)驗(yàn)與結(jié)論

Hinton等人做了三組實(shí)驗(yàn)，其中兩組都驗(yàn)證了知識蒸餾方法的有效性。在MNIST數(shù)據(jù)集上的實(shí)驗(yàn)表明，即便有部分類別的樣本缺失，新模型也可以表現(xiàn)得很不錯(cuò)，只需要修改相應(yīng)的偏置項(xiàng)，就可以與原模型表現(xiàn)相當(dāng)。在語音任務(wù)的實(shí)驗(yàn)也表明，蒸餾得到的模型比從頭訓(xùn)練的模型捕捉了更多數(shù)據(jù)集中的有效信息，表現(xiàn)僅比集成模型低了0.3個(gè)百分點(diǎn)?？傮w來說知識蒸餾是一個(gè)簡單而有效的模型壓縮/訓(xùn)練方法。這大體上是因?yàn)樵Ｐ偷膕oftmax提供了比one-hot標(biāo)簽更多的監(jiān)督信號[3]。

知識蒸餾在后續(xù)也有很多延伸工作。在NLP方面比較有名的有Yoon Kim等人的Sequence-Level Knowledge Distillation 等?？偟膩碚f，對一些比較臃腫、不便部署的模型，可以將其「知識」轉(zhuǎn)移到小的模型上。比如，在機(jī)器翻譯中，一般的模型需要有較大的容量(capacity)才可能獲得較好的結(jié)果；現(xiàn)在非常流行的BERT及其變種，規(guī)模都非常大；更不用提，一些情形下我們需要將這些本身就很大的深度模型集成為一個(gè)ensemble，這時(shí)候，可以用知識蒸餾壓縮出一個(gè)較小的、「便宜」的模型。

文章地址：https://arxiv.org/abs/1606.07947

另外，在多任務(wù)的情境下，使用一般的策略訓(xùn)練一個(gè)多任務(wù)模型，可能達(dá)不到比單任務(wù)更好的效果，文獻(xiàn)[3]探索了使用知識蒸餾，利用單任務(wù)的模型來指導(dǎo)訓(xùn)練多任務(wù)模型的方法，很值得參考。

補(bǔ)充

鑒于評論區(qū)有知友對公式 有疑問，簡單補(bǔ)充一下這里梯度的推導(dǎo)(其實(shí)就是交叉熵?fù)p失對softmax輸入的梯度，LOL)。

* 這部分有一點(diǎn)繁瑣，能接受公式 的讀者可以跳過。

由鏈?zhǔn)椒▌t，有

注意到 是原模型產(chǎn)生的softmax輸出，與 無關(guān)。

后一項(xiàng) 比較容易得到，因?yàn)?，所以

則 是一個(gè) 維向量

前一項(xiàng) 是一個(gè) 的方陣，分類討論可以得到。參考公式 ，記 ，由除法的求導(dǎo)法則，輸出元素 對輸入 的偏導(dǎo)是

注意上面右側(cè)加方框部分，可以進(jìn)一步展開

這樣，代入公式 ，并且將括號展開，可以得到

左側(cè)方框內(nèi)偏導(dǎo)可以分類討論得到

帶入式 ，得到

所以 形式如下

代入式 ，可得

所以有公式 ， 。

參考

[1] Caruana et al., Model Compression, 2006

[2] Hinton et al., Distilling the Knowledge in a Neural Network, 2015

[3] Kevin Clark et al., BAM! Born-Again Multi-Task Networks for Natural Language Understanding

責(zé)任編輯：xj

原文標(biāo)題：知識蒸餾是什么？一份入門隨筆

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