網(wǎng)格設(shè)計(jì)而非劃分

在進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算（包括FEA、CFD等）中，網(wǎng)格的質(zhì)量對(duì)分析計(jì)算的結(jié)果有至關(guān)重要的影響。高質(zhì)量的網(wǎng)格是高精度分析結(jié)果的保證，而質(zhì)量不好或者差的網(wǎng)格，則可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算的無(wú)法完成或者得到無(wú)意義的結(jié)果。劃分網(wǎng)格是需要認(rèn)真考慮的，它內(nèi)部的計(jì)算方程需要設(shè)計(jì)出好的網(wǎng)格，計(jì)算才能更準(zhǔn)確。在一個(gè)完整的分析計(jì)算過(guò)程中，與網(wǎng)格設(shè)計(jì)和修改相關(guān)的前處理工作占到了CAE工程師工作量的70-80％，CAE工程師往往要花費(fèi)大量的時(shí)間來(lái)進(jìn)行網(wǎng)格處理，真正用于分析計(jì)算的時(shí)間很少，所以主要的瓶頸在于如何快速準(zhǔn)備好高質(zhì)量的，滿足分析計(jì)算要求的網(wǎng)格。

該項(xiàng)工作對(duì)技術(shù)人員的技術(shù)經(jīng)驗(yàn)和背景有相當(dāng)高的要求。具體的說(shuō)，就是要求前處理工程師能夠根據(jù)CAE工程師提出的分析要求“設(shè)計(jì)”出能滿足CAE工程師分析要求的合適的網(wǎng)格，然后提交給CAE工程師進(jìn)行分析計(jì)算。之所以是網(wǎng)格“設(shè)計(jì)”而不是網(wǎng)格“劃分”，說(shuō)明了要設(shè)計(jì)出能夠滿足分析計(jì)算要求的高質(zhì)量的網(wǎng)格，并不是一件容易的事情，要完成這項(xiàng)工作需要很多方面的知識(shí)和技術(shù)要求。

針對(duì)一個(gè)具體的分析計(jì)算要求，要獲得一個(gè)滿足該分析計(jì)算的高質(zhì)量網(wǎng)格，需要從以下幾個(gè)方面進(jìn)行綜合考慮：

分析計(jì)算的目的。（定性還是定量）

分析計(jì)算的類(lèi)型，如強(qiáng)度分析、剛度分析、耐久性分析、NVH分析、碰撞分析、CFD分析、熱流分析、動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析等。（不同的分析類(lèi)型對(duì)網(wǎng)格的質(zhì)量和形狀有不同的要求）

分析計(jì)算的時(shí)間要求。（要求時(shí)間的緊迫與否也決定了采用何種網(wǎng)格形式）

分析計(jì)算所采用的求解器。（不同的求解器對(duì)不同的分析問(wèn)題有特定的網(wǎng)格形式和要求）

分析計(jì)算可能應(yīng)用的單元類(lèi)型。（所應(yīng)用的求解器可以采用的單元類(lèi)型，也會(huì)決定網(wǎng)格的質(zhì)量與形狀要求）

盡可能采用最好的網(wǎng)格類(lèi)型（對(duì)于面，盡可能采用四邊形網(wǎng)格；對(duì)于體，盡可能采用六面體單元），由此可見(jiàn)，滿足計(jì)算分析要求的高質(zhì)量的網(wǎng)格是由前處理工程師精心“設(shè)計(jì)”出來(lái)的，而不是隨隨便便“劃分”出來(lái)的。

二四面體和六面體單元比較

本文只談四面體和六面體選擇的問(wèn)題。

有限元工程師80%的工作可能都在于網(wǎng)格打交道，對(duì)于網(wǎng)格的劃分及選擇確實(shí)是，也必須是非常關(guān)心的問(wèn)題。網(wǎng)格劃分的相關(guān)問(wèn)題很多，比如薄殼的處理，一階單元和二階單元的選擇，單元配合等等。

目前，基本上大部分的有限元前處理軟件都基本實(shí)現(xiàn)了對(duì)面單元的自動(dòng)四邊形劃分，但是自動(dòng)六面體單元還是一個(gè)難點(diǎn)，有些號(hào)稱能夠自動(dòng)化六面體劃分的，其實(shí)采用自欺欺人的辦法（劃分只有表面網(wǎng)格是六面體，但是扒開(kāi)了看，里層多數(shù)還是采用四面體），能夠自動(dòng)劃分出完美的六面體網(wǎng)格基本還是難題。

相對(duì)于四面體，六面體的優(yōu)勢(shì)有：

美。不要小看這一點(diǎn)，網(wǎng)格的美與否對(duì)結(jié)果的影響其實(shí)也是非常大的。劃分網(wǎng)格就像打磨一件藝術(shù)品一樣，“漂亮”的網(wǎng)格算出來(lái)正確結(jié)果的可能性絕對(duì)要比“糟糕的”網(wǎng)格大的多。

理論上六面體的精度要比四面體高，這里只談一階單元（二階兩者精度相當(dāng)）。在有限元理論上也介紹的很明白，一階四面體單元是屬于常應(yīng)變單元，所謂的常應(yīng)變單元就是單元只存在一個(gè)應(yīng)力和應(yīng)變，沒(méi)有應(yīng)力梯度。而六面體單元?jiǎng)t是梯度單元，只要不是縮減積分單元，單元內(nèi)部是可以存在多個(gè)應(yīng)力和應(yīng)變積分點(diǎn)的，這樣可以準(zhǔn)確的描述梯度變化區(qū)域。也就意味著，如果是同等精度的話，六面體在應(yīng)變梯度變化大的地方變形的更加合適。

同等模型尺寸下，六面體的節(jié)點(diǎn)數(shù)量要比四面體少得多。例如，50*75*50 的立方體，5mm 的網(wǎng)格大小，如果在四面體下，節(jié)點(diǎn)數(shù)14658 個(gè)，單元數(shù)9759，而在同等大小的尺寸的六面體下，節(jié)點(diǎn)數(shù)1936，單元數(shù) 1500。也就是說(shuō)網(wǎng)格數(shù)量大幅度減少。

四面體雖然在算法上好像優(yōu)勢(shì)不大，但是瑕不掩瑜。四面體本身可填充任何幾何形狀，這個(gè)特性是六面體無(wú)法比擬的。優(yōu)勢(shì)如下：

網(wǎng)格劃分快捷。這是四面體網(wǎng)格最大的特點(diǎn)，不管是什么類(lèi)型的幾何體，通常都可以一鍵操作，再?gòu)?fù)雜的結(jié)構(gòu)，分分鐘就能得到一個(gè)網(wǎng)格出來(lái)。對(duì)于復(fù)雜幾何體來(lái)說(shuō)，這是非常重要的，以前發(fā)動(dòng)機(jī)分析，六面體網(wǎng)格沒(méi)有半個(gè)月的功夫怎能完成，現(xiàn)在也就半天功夫。

網(wǎng)格修改方面。網(wǎng)格的修改體現(xiàn)在兩個(gè)方面：第一，網(wǎng)格可以很容易隨著外界CAD的變化而變化，如果是六面體網(wǎng)格，那工作量就大的去了；第二，網(wǎng)格可隨處任意加密，也是一鍵操作。四面體這些屬性，可以幫助四面體網(wǎng)格實(shí)現(xiàn)Adaptive Mesh（自適應(yīng)網(wǎng)格劃分），讓系統(tǒng)在應(yīng)力梯度高的地方自動(dòng)實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格加密，這也是六面體網(wǎng)格無(wú)法想象的。

局部網(wǎng)格質(zhì)量保證。為保證結(jié)果計(jì)算的準(zhǔn)確性，CAE工程師會(huì)對(duì)網(wǎng)格質(zhì)量有一定的要求，希望六面體能夠盡量往正方體靠攏，而四面體則盡量接近等邊四面體。但是對(duì)于某些薄殼，形狀怪異之處，六面體根本是不可能做到的，而四面體則可以使得網(wǎng)格總體質(zhì)量保證在一個(gè)可以接受的范圍之內(nèi)。

通用，節(jié)省成本。大多數(shù)的CAE軟件都具備了自動(dòng)劃分四面體網(wǎng)格的功能，而且質(zhì)量都還是相當(dāng)?shù)牟诲e(cuò)。對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，比如活塞，想要變成六面體，必須得借助專(zhuān)門(mén)網(wǎng)格劃分工具了，對(duì)于工程師來(lái)說(shuō)要花時(shí)間學(xué)習(xí)，對(duì)于公司來(lái)說(shuō)要增加采購(gòu)成本。

所以說(shuō)，四面體網(wǎng)格和六面體網(wǎng)格各有優(yōu)劣。那么，在工程中如何選擇呢？

馬克思?xì)v史唯物主義哲學(xué)說(shuō)“生產(chǎn)力和生產(chǎn)關(guān)系之間相互作用和矛盾運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成了生產(chǎn)力和生產(chǎn)關(guān)系的內(nèi)在的、本質(zhì)的聯(lián)系，生產(chǎn)力決定了生產(chǎn)關(guān)系，生產(chǎn)關(guān)系反過(guò)來(lái)影響生產(chǎn)力”。所謂的生產(chǎn)力無(wú)非是生產(chǎn)效率的手段，效率是第一位！四面體和六面體的網(wǎng)格選擇也必須遵循此項(xiàng)原則。在CAE工程中，生產(chǎn)效率的提高主要包括了以下幾個(gè)方面：

模型時(shí)間。在有限元分析中，最主要的時(shí)間就是網(wǎng)格劃分了。前文說(shuō)了，大多數(shù)情況下六面體劃分網(wǎng)格的時(shí)間肯定要比四面體要長(zhǎng)得多。

計(jì)算成本。如果在網(wǎng)格精度相同的情況下，如果六面體的網(wǎng)格質(zhì)量能保證的很好，那么計(jì)算成本肯定會(huì)大大降低。

數(shù)值精度。求解的結(jié)果當(dāng)然是為了優(yōu)化產(chǎn)品，優(yōu)化產(chǎn)品的前提是詳細(xì)了解產(chǎn)品內(nèi)部受力分布及大小。在數(shù)值計(jì)算上，六面體也占有一定的優(yōu)勢(shì)。

所以說(shuō)，四面體網(wǎng)格和六面體需要針對(duì)具體模型具體分析了，不過(guò)現(xiàn)在的趨勢(shì)是往四面體的方向發(fā)展。

三各種單元使用條件

一般來(lái)說(shuō)，單元的個(gè)數(shù)越多，階數(shù)越高，網(wǎng)格越密，總體剛度越小，有限元解越接近精確解。但是，并不是單元越密越好。對(duì)于網(wǎng)格劃分不合理的情況，如很多單元共用一個(gè)節(jié)點(diǎn)，單元中存在大的鈍角、小的銳角等等，都不推薦過(guò)細(xì)的單元網(wǎng)格，而且過(guò)細(xì)的網(wǎng)格劃分使計(jì)算需要更多的CPU時(shí)間。

1. 一維單元

桿單元。單元內(nèi)部應(yīng)力一樣，即使分得再細(xì)也不會(huì)改變求解精度。如果將一根構(gòu)件分成多個(gè)單元，反而變成不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。

梁?jiǎn)卧?。也可不太考慮單元?jiǎng)澐?，因?yàn)榧词箤⒁桓鶚?gòu)件化成一個(gè)梁?jiǎn)卧材芎芎玫胤从硰澢冃巍?/p>

2. 二維單元

常用四節(jié)點(diǎn)四邊形單元，如果不滿足可加密網(wǎng)格。四邊形內(nèi)角常不小于45°不大于135°，其長(zhǎng)寬比通常不大于10倍，應(yīng)避免扭曲單元。板單元中將板厚的5倍作為單元長(zhǎng)度已足夠，然而可根據(jù)求解要求、適用場(chǎng)合，將單元長(zhǎng)度縮短或加長(zhǎng)。為了得到精度良好的應(yīng)力分析的結(jié)果，盡可能把四邊形單元?jiǎng)澐殖烧叫?，三角形單元?jiǎng)澐殖烧切巍?/p>

3. 三維單元

對(duì)于實(shí)體一般選擇六面體單元和帶中間節(jié)點(diǎn)的四面體單元（即二階四面體單元：quadratic tetrahedron element）。六面體單元和帶中間節(jié)點(diǎn)的四面體單元的計(jì)算精度都很高，一個(gè)六面體單元有8個(gè)節(jié)點(diǎn)，計(jì)算規(guī)模小，然而復(fù)雜的結(jié)構(gòu)很難劃分出好的六面體單元；而帶中間節(jié)點(diǎn)的四面體單元恰好相反，復(fù)雜結(jié)構(gòu)也能輕易地劃分出四面體，但是每個(gè)單元有10個(gè)節(jié)點(diǎn)，總節(jié)點(diǎn)數(shù)比較多，使計(jì)算量增大很多?？傊欢ㄒ鞔_結(jié)構(gòu)仿真分析的目的，計(jì)算結(jié)果的應(yīng)用場(chǎng)合、目的不同，單元?jiǎng)澐挚赡芤膊幌嗤?。具體如下所述。

四面體單元是COMSOL中大部分物理場(chǎng)的缺省單元類(lèi)型。四面體也稱簡(jiǎn)化網(wǎng)格，簡(jiǎn)言之，它是指任何三維體都可以利用四面體進(jìn)行網(wǎng)格剖分，而不論其形狀或是拓?fù)淙绾?。它也是唯一一種可用于自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化的單元類(lèi)型。因此，四面體通常是您的第一選擇。

另外三種單元類(lèi)型（六面體、棱柱和金字塔形）僅用于確實(shí)需要時(shí)。首先應(yīng)注意的是，這些單元并非總能剖分具體幾何。根據(jù)剖分算法，用戶通常需要進(jìn)行更多的輸入來(lái)創(chuàng)建這類(lèi)網(wǎng)格，因此您應(yīng)該首先問(wèn)一下自己是否需要這么操作，之后再進(jìn)行操作。這里，我們將介紹使用六面體和棱柱單元的原因。金字塔形單元僅在需要在六面體和四面體網(wǎng)格之間創(chuàng)建一個(gè)過(guò)渡區(qū)域時(shí)使用。

早期程序主要針對(duì)那些內(nèi)存極小的計(jì)算機(jī)編寫(xiě)。因此，會(huì)使用一階單元（通常有特定的積分方案）來(lái)節(jié)省內(nèi)存與時(shí)鐘周期。但在結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題中，使用一階四面體單元會(huì)帶來(lái)嚴(yán)重的問(wèn)題，而一階六面體則可以給出精確的結(jié)果。作為這些較早期代碼的遺留產(chǎn)物，現(xiàn)在，許多結(jié)構(gòu)工程師更喜歡使用六面體而非四面體。事實(shí)上，在COMSOL中使用二階四面體單元求解結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題會(huì)得到精確的結(jié)果，與六面體單元的差別僅在于內(nèi)存需求和求解時(shí)間。

在COMSOL中使用六面體和棱柱單元的主要原因是，它們可以極大地降低網(wǎng)格中的單元數(shù)。這些單元可能有極高的縱橫比（最長(zhǎng)邊對(duì)最短邊的比例），而用于創(chuàng)建四面體網(wǎng)格的算法則會(huì)盡量保持縱橫比趨于統(tǒng)一。當(dāng)您知道解在特定方向上會(huì)逐漸變化，或者您對(duì)這些區(qū)域中的精確解并不感興趣，因?yàn)槟栏信d趣的結(jié)果在模型的其他位置時(shí)，使用具有高縱橫比的六面體和棱柱單元將較為合理。

四一階與二階四面體單元區(qū)別

一階實(shí)體四面體單元：

一階（草稿品質(zhì)）四面體單元在體內(nèi)沿著面和邊緣模擬一階（線性）位移場(chǎng)。一階（線性）位移場(chǎng)命名了該單元的名稱，即一階單元。在材料力學(xué)中，應(yīng)變是位移的一階導(dǎo)數(shù)，那么應(yīng)變（從位移的導(dǎo)數(shù)中求出）和應(yīng)力在一階四面體單元中均為常數(shù)。

每個(gè)一階四面體單元共有四個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)四面體的四個(gè)角點(diǎn)。每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度，意味著節(jié)點(diǎn)位移可完全由三個(gè)位移分量來(lái)表示。

一階單元的邊是直線，面是平面。在單元加載變形后，這些邊和面必須仍保持直線和平面。

由一階單元組成的網(wǎng)格，模擬出的真實(shí)復(fù)雜的位移和應(yīng)力場(chǎng)是有嚴(yán)重的局限性的，并且直線和平面不能正確地模擬曲面型幾何模型。

二階實(shí)體四面體單元：

二階（高品質(zhì)）實(shí)體四面體單元模擬了二階（拋物線型）位移場(chǎng)以及相應(yīng)的一階應(yīng)力場(chǎng)（注意拋物型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是線性函數(shù)）。二階位移場(chǎng)命名了該單元的名稱，即二階單元。

每個(gè)二階四面體單元有10個(gè)節(jié)點(diǎn)（4個(gè)角點(diǎn)和6個(gè)中間節(jié)點(diǎn)），并且每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度。

當(dāng)單元因加載而變形時(shí)，如果單元需要模擬曲線型幾何模型，則二階單元的邊和面就可以是曲線型形狀。

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