本文討論了信號經(jīng)過傅立葉變換所得頻譜的物理意義，其中著重于負(fù)頻率成分。許多信號與系統(tǒng)的教材中，都認(rèn)為負(fù)頻率成分沒有物理意義。本文以多方面的實(shí)例證明了負(fù)頻率成分不但具有明確的物理意義，而且有重要的工程應(yīng)用價值。文章還用Matlab程序演示了如何用幾何方法求傅立葉反變換，把集總頻譜合成為時域信號，從中也可鮮明地看出負(fù)頻率成分的意義。

1 負(fù)頻率與復(fù)信號

頻率的原始定義是每秒出現(xiàn)的次數(shù)，可用以衡量機(jī)械運(yùn)動、電信號、乃至任何事件重復(fù)出現(xiàn)的頻度，這當(dāng)然不存在有“負(fù)”的概念。當(dāng)用頻率描述圓周運(yùn)動時（即進(jìn)入了二維信號平面），產(chǎn)生了角頻率ω的概念。從機(jī)械旋轉(zhuǎn)運(yùn)動出發(fā)，ω=dθdt定義為角速度。對于周期運(yùn)動，角速度也就是角頻率。通常以逆時針為正，因此轉(zhuǎn)動的正頻率是逆時針旋轉(zhuǎn)角速度，負(fù)頻率就是順時針旋轉(zhuǎn)角速度。正號和負(fù)號是非常自然形成的，不存在有無物理意義的問題。

電的單位向量（電壓或電流）圍繞原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動，可以用0 表示，這是在電路中都清楚的。θ的正負(fù)所代表的物理意義從來沒有什么爭議，它的導(dǎo)數(shù)ω=dθ/dt的物理意義不言自明。取正取負(fù)都不影響定義，為什么取負(fù)就會失去物理意義了呢？

在信號與系統(tǒng)課程中為簡化問題，便于初學(xué)者掌握概念，開宗明義地把研究范圍限定于實(shí)信號f（t），也就是在電壓旋轉(zhuǎn)向量）中，只研究它在實(shí)平面或虛平面上的一個投影sin（ωt）或cos（ωt），研究復(fù)信號 ejωt的特性與只研究實(shí)信號sin（ωt）或cos（ωt）是兩個不同的層次。前者（復(fù)信號）是反映信號在空間的全面特性，如圖1所示。后者（實(shí)信號）只研究了信號在一個平面（x-t或y-t組成的平面）上投影的特性。這就必然要丟掉一些重要的信息，以致x=sin（ωt）與sin（?ωt）在z-t平面中的波形沒有任何差別，這是人們對負(fù)頻率的意義產(chǎn)生疑問的直接原因之一。很顯然，在x-t 或y-t的平面內(nèi)，是不可能看出旋轉(zhuǎn)的。既看不到θ ，也看不到ω 。只有在x-y平面上才能看到這兩個旋轉(zhuǎn)參數(shù)。

注意上述所說的x平面對應(yīng)實(shí)部 ，y平面對應(yīng)虛部，也就是說此文章是站立在復(fù)數(shù)表示已經(jīng)有相應(yīng)的物理意義的前提下進(jìn)行的討論，那么我先給了j一個有效的理論支持，電路理論中 j，-j，-1， 都可以看成是旋轉(zhuǎn)因子。復(fù)數(shù) F 乘以j，相當(dāng)于 F 在復(fù)平面中逆時針旋轉(zhuǎn)90度 ；復(fù)數(shù) F 乘以 -j，相當(dāng)于順時針旋轉(zhuǎn) 90度；F 乘以或除以 -1， 相當(dāng)于 F 順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)180度

圖1 復(fù)信號ejωt

2 復(fù)信號與實(shí)信號的頻譜

同樣，用 ejωt、sin（ωt）或cos（ωt）作為核來做傅立葉變換所得的結(jié)果也是復(fù)信號全面，實(shí)信號片面。對實(shí)信號做傅立葉變換時，如果用指數(shù)ejωt為核，將得到雙邊頻譜。以角頻率為n的余弦信號為例，它有具有位于±n兩處的、幅度各為0.5、相角為零的頻率特性。它的幾何關(guān)系可以用圖2表示。兩個長度為0.5的向量：分別以士n等速轉(zhuǎn)動，它們的合成向量就是沿實(shí)軸方向酌余弦向量 簡沿虛軸方向的信號為零。可見必須有負(fù)頻率的向量存在，才可能構(gòu)成純粹的實(shí)信號。所以歐拉公式）

圖2 實(shí)數(shù)信號由正負(fù)頻率復(fù)向量合成

4）多普勒頻率

多普勒頻率又是一個負(fù)頻率的實(shí)例，如果信號的發(fā)射源向我們運(yùn)動而來，那么多普勒頻率就是正頻率；如果信號的發(fā)射源向我們遠(yuǎn)離而去，那么多普勒頻率就是負(fù)頻率，在這里正負(fù)頻率都是有明確物理意義的。多普勒頻率雖是一種差頻，它表現(xiàn)為合成信號的包絡(luò)頻率，因此仍然符合上述的原理，在實(shí)信號域只能求出多普勒頻率的大小，但檢測不出它的正負(fù)。要得到負(fù)頻率，必須從復(fù)信號域考慮?？梢?，不懂得這一點(diǎn)，就無法找到多普勒測速的原理框圖。

歸根到底，轉(zhuǎn)角和頻率的正負(fù)，必須在x-y平面或二維信號中才能觀察到。因?yàn)橛^察的方法不對，看不到其意義，從而否認(rèn)它的存在，這是認(rèn)識論上的錯誤，不是科學(xué)的方法。這就和“瞎子摸象”的故事所說的那樣，摸象腿的人否認(rèn)象有鼻子，毛病出在他的驗(yàn)證方法。他老想在象腿（實(shí)信號域）上找到象鼻子（負(fù)頻率），當(dāng)然也永遠(yuǎn)找不到。正確的方法是必須換一個角度，摸別的部位（復(fù)信號域），才能得到全面的知識。

某些學(xué)者不承認(rèn)負(fù)頻率是由于把“頻率是每秒鐘循環(huán)的次數(shù)”的陳舊概念絕對化，其實(shí)頻率的概念是不斷發(fā)展充實(shí)的。每秒次數(shù)的概念只能粗糙地研究信號外部形態(tài)，無法涉及信號每周期內(nèi)部的細(xì)微波形特征，而這恰好是傅立葉變換的任務(wù)。從它的核已經(jīng)可以清楚地看到，正是它摒棄（或發(fā)展）了原始的頻率定義，采用了角頻率的概念。單位是弧度/秒，而且具有明確的方向和正負(fù)號。其實(shí)頻率的概念還在繼續(xù)發(fā)展，進(jìn)入到數(shù)字信號處理時又進(jìn)一步出現(xiàn)了數(shù)字頻率，它的單位是弧度（去掉了分母上的“秒”），取值范圍是［-π，π］。它的物理意義已變?yōu)閮纱尾蓸訒r刻之間向量轉(zhuǎn)過的角度，在文獻(xiàn)［1］中對此有詳細(xì)的說明。如果停留在“每秒次數(shù)”的舊概念上，那“數(shù)字信號處理”也就無法發(fā)展了。

5．從認(rèn)識論角度糾正對負(fù)頻率的錯誤說法

這個問題是從教學(xué)中提出的，作者在旁聽“信號與系統(tǒng)”課程時，在老師的幻燈片上看到了“關(guān)于雙邊譜，負(fù)頻率只有數(shù)學(xué)意義，沒有物理意義”的提法。我們覺得這是個錯誤，而且恐怕不是個別老師的想法?；貋硪徊?，果然如此，很多相當(dāng)權(quán)威的主流教材上都這么寫。

其實(shí)，“×××只有數(shù)學(xué)意義，沒有物理意義”這樣的“命題”誰也沒有證明過，也是無法證明的，它最多只能算是猜想。只要有一個反例就可被推翻，本文已經(jīng)舉出了多個反例，說明它是完全錯誤的。教師絕不該把錯誤的猜想說成真理，更不能寫在書上和幻燈片上去誤導(dǎo)學(xué)生。數(shù)學(xué)是更抽象、更深刻地描述物理現(xiàn)象的工具，而物理是實(shí)證的科學(xué)。限于條件，人們往往暫時還認(rèn)識不到數(shù)學(xué)定理的物理意義。數(shù)學(xué)超前物理是科學(xué)史上多次出現(xiàn)的現(xiàn)象，比如虛數(shù)、非歐氏幾何等。這時應(yīng)該努力去理解它，認(rèn)識它，而不是輕易地放棄它、否定它。自己沒想通，沒找到的事物，不能說它不存在。給學(xué)生講課時，只能說“我們目前還沒有想通×××的物理意義”。這才能表明教師在科學(xué)上的嚴(yán)肅和謙遜，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)鉆研和創(chuàng)新精神。

6．結(jié)束語

討論這個問題，不僅是理論上的探討，對于提高教學(xué)質(zhì)量是有重大意義的。今天，信息技術(shù)如此的發(fā)展，很大程度是由于深入大量地開發(fā)頻譜資源的結(jié)果。在同學(xué)剛進(jìn)入這個資源庫的時候，我們要引導(dǎo)他們對這個寶藏發(fā)生極大的興趣，非常珍惜這個寶藏，去深鉆，去挖掘它的每一點(diǎn)潛力。不能為了省事，為了堵住學(xué)生的好奇提問，輕率地、毫無根據(jù)地一句話就把頻譜的負(fù)頻率半邊扔掉了。在入門的時候，當(dāng)然不可能把本文說的概念統(tǒng)統(tǒng)灌輸給學(xué)生，要順序漸進(jìn)。但老師首先要有更寬廣的知識面和更科學(xué)的思維方法，教出的學(xué)生的才會具備更多的想象力和創(chuàng)造性。

審核編輯：郭婷