上一篇所介紹的卡拉比—丘流形（Calabi-Yau manifold），因擁有特殊的拓?fù)湫再|(zhì)，成為解釋弦論中額外6維緊致空間的核心。然而，6維卡拉比—丘流形的拓?fù)湫螒B(tài)眾多，幾何結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，難以直觀想象。 因此，一般而言，在以解釋物理圖像為重點(diǎn)，無(wú)需細(xì)究“額外6維空間”的數(shù)學(xué)性質(zhì)時(shí)，我們使用緊致化中最簡(jiǎn)單的6維環(huán)面，來(lái)代替復(fù)雜的卡拉比—丘流形。通俗地講，我們用比較簡(jiǎn)單的環(huán)面來(lái)代替難以想象的復(fù)雜流形。 本篇文章，我們從經(jīng)典點(diǎn)粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律出發(fā)，來(lái)看看弦理論中“弦”的游戲規(guī)則。

1 平坦環(huán)面

說(shuō)到環(huán)面，我們經(jīng)常想到的是甜甜圈形狀，但是拓?fù)鋵W(xué)家們偏向于一種以更抽象的方式來(lái)描繪的環(huán)面。在圖1a中，我們將二維環(huán)面畫(huà)成一個(gè)長(zhǎng)方形。

圖1：平坦（2維）環(huán)面形成過(guò)程，可以想象成將一個(gè)桶狀環(huán)面之首尾粘合起來(lái)，成“甜甜圈”，但有實(shí)質(zhì)性的不同。

圖a的方形中，“A”箭頭所對(duì)應(yīng)的兩條邊將會(huì)被粘合在一起，“B”箭頭所對(duì)應(yīng)的兩條邊也將會(huì)被粘合在一起。也就是說(shuō)，如同科幻片中見(jiàn)到的那樣：當(dāng)你從長(zhǎng)方形上方的A邊走出長(zhǎng)方形時(shí)，你會(huì)在下方的A邊上出現(xiàn)；當(dāng)你穿過(guò)長(zhǎng)方形右邊的B時(shí)，你會(huì)在左方的B邊現(xiàn)身。

如此而形成的二維環(huán)面，被稱(chēng)為抽象環(huán)面，或平坦環(huán)面（Flat Torus）［1］，它的形狀不同于甜甜圈。事實(shí)上，如圖1所示：兩條A邊粘合后形成柱面，這第一步?jīng)]有任何問(wèn)題。然而，第二步，當(dāng)我們將圖c柱面的兩端B 粘合起來(lái)后，我們不可能得到真正甜甜圈的形狀，即圖1d所示的那種平滑無(wú)皺褶的曲面。這里有一個(gè)深層的原因：抽象環(huán)面來(lái)自于一個(gè)平坦的長(zhǎng)方形，本質(zhì)上是平坦的，（內(nèi)蘊(yùn)）曲率為零，而通常所見(jiàn)的甜甜圈的內(nèi)蘊(yùn)曲率不為零。抽象環(huán)面與甜甜圈的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)不一樣。

盡管抽象環(huán)面不能被平滑地嵌入三維空間中，卻很容易依靠想象來(lái)理解它的拓?fù)湫再|(zhì)。

最簡(jiǎn)單的環(huán)面是1維的圓圈，圖1構(gòu)建的是二維環(huán)面，其方法可以推廣到更高的維度。例如，設(shè)想一個(gè)長(zhǎng)方體，它有六個(gè)面：（A，A’）、（B，B’）、（C，C’），兩兩互相平行。想象將A和A’粘合在一起，B和B’、C和C’也粘合在一起，便構(gòu)成了一個(gè)3維的抽象環(huán)面。同樣的方法可以構(gòu)建任意n維的抽象環(huán)面。

2 弦在時(shí)空中的（經(jīng)典）運(yùn)動(dòng)

卡拉比—丘流形或者抽象環(huán)面，作為6維緊致空間，加上我們熟悉的、大范圍尺度上展開(kāi)了的4維時(shí)空，構(gòu)成弦論的10維時(shí)空，是“弦”活躍的舞臺(tái)。也就是說(shuō)，弦論中有兩種舞臺(tái)：4維時(shí)空大舞臺(tái)（即我們身處的現(xiàn)實(shí)世界）和6維的小舞臺(tái)。從數(shù)學(xué)的角度說(shuō)，弦論中的空間是4維時(shí)空與6維緊致空間的笛卡爾積。

除了舞臺(tái)和演員之外，還得有劇本，即游戲規(guī)則。對(duì)物理學(xué)而言，游戲規(guī)則又有量子及非量子（經(jīng)典）之分。

弦在空間的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以從點(diǎn)粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律推廣而來(lái)。首先我們看看如何將經(jīng)典點(diǎn)粒子規(guī)則推廣到經(jīng)典弦。

牛頓力學(xué)中，點(diǎn)粒子的軌跡是3維空間中隨時(shí)間變化的一條線(xiàn)。相對(duì)論中，將粒子在4維時(shí)空中運(yùn)動(dòng)的軌跡稱(chēng)為“世界線(xiàn)”，見(jiàn)圖2a。弦論中，0維的點(diǎn)粒子被（更小的）1維的弦運(yùn)動(dòng)代替了。弦在時(shí)空中運(yùn)動(dòng)的軌跡則用軌跡面代替，稱(chēng)之為“世界面”，如2b所示。更進(jìn)一步，如果運(yùn)動(dòng)的實(shí)體是二維的（膜），時(shí)空中的運(yùn)動(dòng)軌跡便叫做“世界體”，如圖2c所示。

圖2：粒子vs弦（或膜）

相對(duì)于無(wú)大小的點(diǎn)粒子數(shù)學(xué)模型而言，弦模型有許多優(yōu)越性，其中一點(diǎn)便是避開(kāi)了點(diǎn)粒子的無(wú)窮大問(wèn)題。

在經(jīng)典電子學(xué)中就存在無(wú)窮大的困難。經(jīng)典物理中，可以將電子當(dāng)作一個(gè)半徑r的小球，電子的質(zhì)量公式為m = e2/rc2。當(dāng)r趨近于0時(shí)，質(zhì)量成為無(wú)窮大。最后，經(jīng)典電子論通過(guò)引進(jìn)電子的有限半徑（非點(diǎn)粒子）免除了這一發(fā)散。在量子場(chǎng)論中，則需要使用重整化的方法消除無(wú)窮大，但引力場(chǎng)不能重整化，從而使它不能被包括到標(biāo)準(zhǔn)模型中。

然而，對(duì)弦論而言，重整化變得無(wú)關(guān)緊要，因?yàn)橄也皇屈c(diǎn)，弦有尺寸大小，自然而然地去除了點(diǎn)粒子的發(fā)散問(wèn)題。

3 量子的弦和相互作用

圖2中點(diǎn)粒子和弦運(yùn)動(dòng)的類(lèi)比，很容易推廣到其它情形，包括量子弦及相互作用的情形。也就是說(shuō)，點(diǎn)粒子時(shí)的線(xiàn)，在弦論中則用帶狀曲面（開(kāi)弦）或管道面（閉弦）來(lái)代替（圖2b所示）。

例如，圖2a中的世界線(xiàn)，是經(jīng)典粒子在4維時(shí)空中的軌跡。兩個(gè)固定點(diǎn)之間的經(jīng)典路徑只有一條，但如果考慮量子力學(xué)，一個(gè)粒子從A到B的路徑有無(wú)窮多條，經(jīng)典路徑（藍(lán)色線(xiàn)）只是其中一條（見(jiàn)圖3a）。圖3b顯示的弦論中的情況也類(lèi)似：除了藍(lán)色代表的經(jīng)典世界面之外，所有可能的世界面都對(duì)計(jì)算弦A到弦B的量子概率幅有貢獻(xiàn)。

圖3：路徑積分（量子化）

根據(jù)量子場(chǎng)論，時(shí)空中的粒子，總是在不斷地湮滅，又不斷地產(chǎn)生。產(chǎn)生和湮滅一類(lèi)的相互作用現(xiàn)象用各級(jí)費(fèi)曼圖來(lái)進(jìn)行描述和計(jì)算，弦論也不例外，只是如上所述，相應(yīng)的線(xiàn)段需要用“面”來(lái)替代而已，見(jiàn)圖4。

圖4：弦論中弦與弦的相互作用和費(fèi)曼圖

從場(chǎng)論的角度，比較標(biāo)準(zhǔn)模型來(lái)說(shuō)，弦論的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是更為簡(jiǎn)化。量子場(chǎng)論在數(shù)學(xué)上可以有無(wú)窮多種，因此可對(duì)應(yīng)于無(wú)窮多種粒子。比如說(shuō)，對(duì)應(yīng)于標(biāo)準(zhǔn)模型的61種基本粒子，便有61種不同的量子場(chǎng)論。而在弦論中，只需要一種描述“弦”的量子場(chǎng)論就可以了，由此從概念上得以簡(jiǎn)化。

4 膜-弦概念的擴(kuò)展

在圖2c中，我們已經(jīng)提及“膜”的概念，它最早來(lái)自于與弦論相關(guān)的超引力理論（supergravity theory）。如今的弦論中經(jīng)常談到的膜，有p膜和D膜。

稱(chēng)為p膜（p-brane）的物理實(shí)體，是將點(diǎn)粒子的概念推廣至1維、2維以及更高維度而產(chǎn)生的。舉例來(lái)說(shuō)，點(diǎn)粒子可以被視為0維的膜，而弦則可視為1維的膜，通常意義上的“膜”是2維的。此外，也可能存在更高維的膜。

p膜是動(dòng)力學(xué)物體，在時(shí)空中行進(jìn)時(shí)，所根據(jù)的是量子力學(xué)的規(guī)則。它們帶有質(zhì)量與其他性質(zhì)，例如電荷。一個(gè)p膜在時(shí)空中的行進(jìn)，掃出了（p+1）維度的體積，稱(chēng)之為世界體積（worldvolume）如圖2c所示。

另一類(lèi)膜叫做D膜（d-brane），表示符合狄利克雷邊界條件（Dirichlet boundary condition）的膜。D膜是弦論中一類(lèi)很重要的膜，與開(kāi)弦在時(shí)空中的運(yùn)動(dòng)有關(guān)。當(dāng)開(kāi)弦在時(shí)空中行進(jìn)時(shí)，開(kāi)弦的端點(diǎn)必須在D膜上。對(duì)D膜的研究導(dǎo)出了與對(duì)偶性有關(guān)的重要成果，下一篇的文章中會(huì)給以簡(jiǎn)單介紹。

5 弦在緊致空間中運(yùn)動(dòng)的特殊性

本文開(kāi)始時(shí)曾經(jīng)提到過(guò)：弦論的空間分為伸展的大空間和卷曲的小空間。使用前面文章“電纜線(xiàn)上螞蟻”的比喻：我們看見(jiàn)的電纜線(xiàn)是1維大空間，而線(xiàn)上的螞蟻則能看見(jiàn)另一維卷曲的圓圈（小空間）。

弦論中的大時(shí)空是4維的，卷曲緊致的小空間是6維的。4維和6維都無(wú)法用平面圖像顯示出來(lái)，但是，為了方便解釋概念，我們將弦論的10維時(shí)空簡(jiǎn)化為圖6a的長(zhǎng)長(zhǎng)圓柱體，看起來(lái)像是螞蟻眼中的2維電纜線(xiàn)。用沿著電纜線(xiàn)方向的那一維，代表4維大時(shí)空；用電線(xiàn)的截面圓圈，代表6維小空間。使用如此比喻的話(huà)，10維時(shí)空中的開(kāi)弦閉弦，就是電纜線(xiàn)上的小螞蟻了。

也就是說(shuō)，圖6中無(wú)限延伸的x方向代表我們熟知的4維時(shí)空，y方向卷曲的小圓代表6個(gè)額外小維度。這個(gè)6維空間可以是卡拉比-丘流形，也可以簡(jiǎn)單地理解成本篇所說(shuō)的6維抽象環(huán)面。對(duì)6維環(huán)面而言，圖中的R就不是1個(gè)數(shù)值而應(yīng)該被理解為代表6個(gè)數(shù)值了。

圖6：弦論空間和“繞數(shù)”的示意圖

從點(diǎn)粒子到弦論，并非所有物理量都有相應(yīng)的類(lèi)比物，弦的特殊性會(huì)產(chǎn)生某些點(diǎn)粒子模型中沒(méi)有的性質(zhì)，我們舉閉弦在緊致空間中的“繞數(shù)”［2］為例，它就是4維時(shí)空的標(biāo)準(zhǔn)模型中沒(méi)有的物理量。

如圖6所示，10維時(shí)空分成一大一小，其中弦的運(yùn)動(dòng)也可以從這兩個(gè)方面的運(yùn)動(dòng)來(lái)討論。也就是說(shuō)：弦，除了在大的4維時(shí)空中運(yùn)動(dòng)外，還能繞著緊致空間運(yùn)動(dòng)。閉弦的這種運(yùn)動(dòng)尤其特殊，因?yàn)殚]弦可能有一種特別的狀態(tài)，就是繞在某一個(gè)（或多個(gè)）緊致的維度上，可以繞上1圈、2圈或者很多（N）圈，見(jiàn)圖6b。于是，閉弦便多了一種量子態(tài)，用一個(gè)新的量子數(shù)表征這個(gè)量子態(tài)，叫做“繞數(shù)”（winding number）。

開(kāi)弦沒(méi)有繞數(shù)的概念，因?yàn)殚_(kāi)弦在拓?fù)渖系刃в谝粋€(gè)點(diǎn)，“繞”不起來(lái)。

當(dāng)纏繞在緊致維度上的閉弦發(fā)生相互作用時(shí)，總繞數(shù)是一個(gè)守恒量。

圖6b上方的圖，舉出了繞數(shù)w=0、+2、+1、-1的例子，下方一圖表示了一個(gè)閉弦的變化（等效）過(guò)程（從左到右），可用以簡(jiǎn)單地說(shuō)明繞數(shù)守恒：開(kāi)始時(shí)，閉弦只是放在圓柱上，沒(méi)有繞圈，因此w=0。閉弦上的點(diǎn)A和B接近后相互作用，成為w=1和 w=-1的兩個(gè)閉弦，但繞數(shù)的總和仍然為0。

怎么樣，你是否理解了點(diǎn)粒子與弦玩法上的不同呢？很好理解是不是？

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