半導體具有價帶全滿、導帶全空的能帶結(jié)構,但這只是在絕對溫度為零度時才嚴格成立。在室溫下，仍有少量的電子從價帶熱激發(fā)至導帶,并在價帶留下相應的空穴，或電子從施主雜質(zhì)電離進人導帶,或空穴從受主雜質(zhì)電離進人價帶。盡管這種熱激發(fā)過程或電離過程具有一定的隨機性，而且要研究的對象載流子的數(shù)量巨大，但它們也有規(guī)律可循，它們應遵循統(tǒng)計規(guī)律。本節(jié)將討論本征半導體、雜質(zhì)半導體包括簡并半導體的載流子統(tǒng)計規(guī)律。

2.5.1 載流子的玻爾茲曼統(tǒng)計分布規(guī)律

統(tǒng)計物理學認為電子處于能量E的幾率為

這里E為費米能級,它標志了一個系統(tǒng)中電子填充水平的高低，類似于一個盛水容器中的水平面。f(E)又稱為費米分布函數(shù),具有如下性質(zhì):

這種分布函數(shù)又稱玻爾茲曼分布函數(shù)。

就像計算盛水容器中的水量除了需要知道水平面外，還要知道這個容器各層橫截面的布函數(shù)。面積那樣,要計算半導體中載流子濃度,除了需要知道費米能級外,還要知道導帶或價帶的態(tài)密度。對于具有拋物線型色散關系的能帶結(jié)構,其導帶和價帶的態(tài)密度分別為：

通過對導帶和價帶中不同能量位置載流子濃度的積分,可以得到導帶電子濃度和價帶空穴濃度與費米能級存在如下關系:

這里Nc和Nv分別為導帶和價帶的有效狀態(tài)密度,分別由下式?jīng)Q定:

上式中,m。和m品分別為導帶和價帶的態(tài)密度有效質(zhì)量,它們是包含了可能出現(xiàn)的多能谷以及能谷各向異性信息或輕重空穴有效質(zhì)量信息的一個折合質(zhì)量。(2.7)式的物理意義是，對導帶電子(或價帶空穴)的統(tǒng)計可以將所有導帶電子假想為集中到導帶底(或價帶頂)，同時其態(tài)密度為Ne(或N)。費米能級越接近于導帶，電子濃度越高，空穴濃度越低;反之亦然。一旦費米能級的位置確定，電子濃度和空穴濃度也隨之確定(假定溫度是確定的);反過來，一旦電子或空穴濃度確定，則費米能級的位置也確定。將(2.7a)和(2.7b)兩式相乘,還可得到

(2.9)式表示電子濃度和空穴濃度的乘積只與材料本身的性質(zhì)(即禁帶寬度、有效質(zhì)量)和溫度有關，而與費米能級位置和摻雜濃度無關。

2.5.2 本征載流子濃度及其隨溫度變化

利用(2.9)式,可以直接計算本征半導體的載流子濃度。根據(jù)電中性條件，在本征半導體中熱激發(fā)產(chǎn)生的導帶電子和價帶空穴的濃度相等，這一濃度稱為本征載流子濃度n1。其大小可通過電中性條件n=p，再利用(2.9)式確定如下:

同時，利用(2.7)式還可以得到本征半導體的費米能級(稱為本征費米能級)，

半導體本征載流子濃度與溫度和禁帶寬度有關，在一定溫度下，應有一個確定值。圖2.15為硅、鍺、砷化鎵3種半導體本征載流子濃度與溫度倒數(shù)的關系[e。隨著溫度升高，本征載流子濃度呈指數(shù)式增大,其對數(shù)與1/T的斜率為一Eg/2k。E。越大的材料,本征載流子濃度越低。對于硅材料,室溫(300 K)下本征載流子濃度為9.6510cm~3。另外,由于室溫熱運動能量kT約為26 meV,比大多數(shù)半導體禁帶寬度小得多,因此，(2.11)式右邊第一項相對于第一項可以忽略,即:可以認為本征費米能級位于半導體禁帶中央。這是合理的,因為本征半導體既非n型,又非p型,所以,費米能級既不向?qū)б膊幌騼r帶偏移。

利用(2.10)式和(2.11)式,又可將(2.7)式和(2.9)式分別改寫為

2.5.3 雜質(zhì)半導體載流子濃度及其隨溫度變化

對于雜質(zhì)半導體，以摻有施主雜質(zhì)的n型半導體為例,導帶電子除了由本征熱激發(fā)產(chǎn)生外.還需要考慮由施主電離產(chǎn)生的電子。這時就需要考慮電子占據(jù)雜質(zhì)能級的幾率,它類似于費米分布，

從(2.16)式可知,對于確定溫度,E應有定值,電子濃度和空穴濃度也可確定。圖2.16為典型的電子濃度對數(shù)與溫度倒數(shù)的關系1在低溫下,電子濃度隨溫度上升呈指數(shù)式上升其斜率與施主電離能(ED=Ec一ED)成正比,此過程又稱為雜質(zhì)弱電離區(qū)。在中等溫度范圍,電子濃度存在一個飽和區(qū),它對應于施主雜質(zhì)的完全電離,故又稱為強電離區(qū),此時"=Nn，大多數(shù)情況下室溫就落在此區(qū)間。溫度進一步升高，載流子本征熱激發(fā)可超過施主雜質(zhì)濃度,進入本征激發(fā)區(qū),電子濃度主要由本征載流子濃度決定,它隨溫度呈指數(shù)式增加,其斜率正比于Eg。

對于p型半導體,只要將電中性條件改為p=NA+n，也可以得到類似于n型半導體的結(jié)果。對于同時摻有施主和受主雜質(zhì)的半導體,則只要將電中性條件改為n十N=N十p，也可計算出Ee，從而進一步計算出電子和空穴的濃度。它也具有與單一雜質(zhì)情形類似的3個溫區(qū)，在飽和區(qū)或強電離區(qū)多數(shù)載流子的濃度等于摻雜濃度之差(ND一NA或V、一N)，這就是雜質(zhì)補償現(xiàn)象。在通常情況下,室溫位于飽和區(qū)。

2.5.4 簡并半導體載流子的費米統(tǒng)計分布規(guī)律

這里需要指出,上面的(2.7)式、(2.9)式、(2.12)式、(2.13)式，是在費米能級距導帶邊和價帶邊不過近的情況下(Ec一EF>2kT和EE一Ev>2kT)得到的?；蛘哒f，當費米分布函數(shù)可以用玻爾茲曼分布函數(shù)近似時,才有這些結(jié)論。這種條件下的半導體稱為非簡并半導體，此時半導體中載流子濃度較低，每個狀態(tài)被電子占據(jù)的幾率很低，不必考慮泡利不相容原理的限制。隨著摻雜濃度的增大，以n型半導體為例，費米能級越來越接近導帶邊，甚至進入導帶,這時半導體稱為簡并半導體，因為此時半導體中載流子濃度很高，相當數(shù)量的狀態(tài)可能被一個以上電子占據(jù),所以，必須考慮泡利不相容原理，費米分布函數(shù)不能用玻爾茲曼分布函數(shù)來近似,即:玻爾茲曼統(tǒng)計不能用來計算導帶電子，必須用費米統(tǒng)計。顯然，此時對于空穴濃度仍適用玻爾茲曼統(tǒng)計。(2.7a)式可改為

圖2.17為費米積分與玻爾茲曼積分的比較?？梢钥闯?，當<一2時,玻爾茲曼積分與費米積分基本相同,在大于2尤其在>0(對應于費米能級進人導帶)時，玻爾茲曼積分明顯偏離費米積分。由于玻爾茲曼統(tǒng)計不考慮泡利不相容原理,而費米統(tǒng)計考慮了泡利不相容原理，對于同樣位置的費米能級,玻爾茲曼統(tǒng)計得到的載流子濃度偏高是可以預期的。當重摻雜使半導體成為簡并半導體后，特別是當費米能級進入導帶時,根據(jù)電子占據(jù)施主雜質(zhì)能級幾率的表達式可知,施主雜質(zhì)電離率較低，不同于低摻雜和中等程度摻雜時雜質(zhì)基本能完全電離。上述討論對重摻雜p型半導體也適用，相應空穴濃度為